a: Xét (O) có
MA,MC là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MC
=>M nằm trên đường trung trực của AC(1)
Ta có: OA=OC
=>O nằm trên đường trung trực của AC(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AC
=>MO\(\perp\)AC tại E và E là trung điểm của AC
Xét (O) có
ΔADB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔADB vuông tại D
=>AD\(\perp\)MB tại D
Xét ΔMAB vuông tại A có AD là đường cao
nên \(MD\cdot MB=MA^2\)
mà MA=MC
nên \(MD\cdot MB=MC^2\)
b: Xét tứ giác AEDM có \(\widehat{AEM}=\widehat{ADM}=90^0\)
nên AEDM là tứ giác nội tiếp
c: Gọi giao điểm của BC với AM là K
Ta có: CH\(\perp\)AB
AM\(\perp\)AB
Do đó: CH//AM
Ta có: \(\widehat{MCA}+\widehat{MCK}=\widehat{ACK}=90^0\)
\(\widehat{MAC}+\widehat{MKC}=90^0\)(ΔCKA vuông tại C)
mà \(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)(ΔMAC cân tại M)
nên \(\widehat{MCK}=\widehat{MKC}\)
=>MK=MC
mà MA=MC
nên MK=MA(3)
Xét ΔBMK có CF//MK
nên \(\dfrac{CF}{MK}=\dfrac{BF}{BM}\left(4\right)\)
Xét ΔBAM có HF//AM
nên \(\dfrac{HF}{AM}=\dfrac{BF}{BM}\left(5\right)\)
Từ (3),(4),(5) suy ra CF=HF
=>F là trung điểm của CH
Xét ΔCAH có
E,F lần lượt là trung điểm của CA,CH
=>EF là đường trung bình của ΔCAH
=>EF//AH
=>EF//AB
