Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(x^2=3mx+1-m^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-3mx+m^2-1=0\)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) có hai nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\text{Δ}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(-3m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow9m^2-8m^2+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+4\ge0\)(luôn đúng)
Suy ra: (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1\cdot x_2=m^2-1\\x_1+x_2=3m\end{matrix}\right.\)
Theo đề, ta có phương trình: \(3m=2\cdot\left(m^2-1\right)\)
\(\Leftrightarrow2m^2-2-3m=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-4m+m-2=0\)
\(\Leftrightarrow2m\left(m-2\right)+\left(m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(2m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\2m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\2m=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy: Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(x_1+x_2=2x_1x_2\) thì \(m\in\left\{2;-\dfrac{1}{2}\right\}\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$
Có: $x^2=3mx+1-m^$
$⇔x^2-3mx+m^2-1=0(1)$
Xét phương trình (1) có dạng $ax^2+bx+c=0$ với
$\begin{cases}a=1 \neq 0\\b=-3m\\c=m^2-1\end{cases}$
$⇒pt(1)$ là phương trình bậc hai một ẩn $x$
Có $\delta=b^2-4ac=9m^2-4.1.(m^2-1)=5m^2+4>0 \forall m$
suy ra $pt(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$
Theo hệ thức Viete có: $\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=3m\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-1\end{cases}$
Nên $x_1+x_2=2x_1.x_2$
$⇔3m=2.(m^2-1)$
$⇔2m^2-3m-2=0$
$⇔(m-2)(2m+1)=0$
$⇔$\(\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy $m∈2;\dfrac{-1}{2}$ thỏa mãn đề
