\(\text{Δ}=\left(m-2\right)^2-4\left(m+5\right)\)
=m^2-4m+4-4m-20
=m^2-8m-16
=(m-4)^2-32
Để phương trình có hai nghiệm thì (m-4)^2>=32
=>m>=4 căn 2+4 hoặc m<=-4căn 2+4
\(x_1^2+x_2^2=10\)
=>(x1+x2)^2-2x1x2=10
=>(m-2)^2-2(m+5)=10
=>m^2-4m+4-2m-10-10=0
=>m^2-6m-16=0
=>(m-8)(m+2)=0
=>m=8 hoặc m=-2
Phương trình có nghiệm khi:
\(\Delta=\left(m-2\right)^2-4\left(m+5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-8m-16\ge0\) (1)
Khi đó theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m+2\\x_1x_2=m+5\end{matrix}\right.\)
Để \(x_1^2+x_2^2=10\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)
\(\Leftrightarrow\left(-m+2\right)^2-2\left(m+5\right)=10\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m-16=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=8\\m=-2\end{matrix}\right.\)
Thay vào điều kiện (1) kiểm tra thì chỉ có \(m=-2\) thỏa mãn
Vậy...
+ Tính $\Delta$: $\Delta = (m-2)^2 - 4.(m+5) = m^2 - 8m - 16$.
+ Phương trình có hai nghiệm $x_1$ ;$x_2$ (chú ý chưa có giả thiết hai nghiệm PHÂN BIỆT) thì $\Delta \ge 0$ hay $m^2 - 8m - 16 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &m \ge 4 + 4\sqrt2\\&m \le 4-4\sqrt2\\ \end{aligned} \right.$.
+ Định lí Vi - et: $\left\{ \begin{aligned} &x_1+x_2 = 2-m\\&x_1.x_2 = m+5\\ \end{aligned}\right.$
+ Biến đổi $x_1^2 + x_2^2 = 10$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 10$
$\Leftrightarrow (2-m)^2 - 2(m+5) = 10$
$\Leftrightarrow m^2 - 6m - 16 = 0$
$\Leftrightarrow m = 8$ (loại) hoặc $m = -2$ (tm).
