\(\left(x^2+y^2\right)\left(x^3+y^3\right)=280\)
\(\Leftrightarrow\left[4^2-2xy\right]\left[4^3-3xy\cdot4\right]=280\)
Bài 1: Đặt $x+y=a; xy=b$ thì:
$x^2+xy+y^2=3$
$\Leftrightarrow (x+y)^2-xy=3$
$\Leftrightarrow a^2-b=3(1)$
$xy+x+y=-3$
$\Leftrightarrow b+a=-3$
$\Leftrightarrow b=-3-a$ Thay vô $(1)$:
$a^2-(-3-a)=3$
$\Leftrightarrow a^2+a=0$
$\Leftrightarrow a(a+1)=0$
$\Rightarrow a=0$ hoặc $a=-1$
Nếu $a=0$ thì $b=-3$. Ta có: $x+y=0; xy=-3$
$\Rightarrow (x,y)=(\sqrt{3}, -\sqrt{3}), (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$
Nếu $a=-1$ thì $b=-2$. Ta có $x+y=-1; xy=-2$
Theo định lý Viet đảo thì $x,y$ là nghiệm của pt $X^2+X-2=0$
$\Rightarrow (x,y)=(1,-2), (-2,1)$
Bài 2:
Đặt $xy=b$ thì:
$(x^2+y^2)(x^3+y^3)=280$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y)(x^2-xy+y^2)=280$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2)(x^2-xy+y^2)=70$
$\Leftrightarrow [(x+y)^2-2xy][(x+y)^2-3xy]=70$
$\Leftrightarrow (16-2xy)(16-3xy)=70$
$\Leftrightarrow (8-xy)(16-3xy)=35$
$\Leftrightarrow (8-b)(16-3b)=35$
$\Leftrightarrow 3b^2-40b+93=0$
$\Leftrightarrow b=\frac{31}{3}$ hoặc $b=3$
Nếu $b=xy=\frac{31}{3}$ và $x+y=4$ thì áp dụng định lý Viet, $x,y$ là nghiệm của pt $X^2-4X+\frac{31}{3}=0$ (dễ thấy pt này vô nghiệm)
Nếu $b=xy=3$ và $x+y=4$ thì áp dụng định lý Viet, $x,y$ là nghiệm của pt $X^2-4X+3=0$
$\Rightarrow (x,y)=(1,3), (3,1)$
