e) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(BH^2=BD\cdot AB\)
\(\Leftrightarrow BD=\dfrac{HB^2}{AB}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(CH^2=CE\cdot CA\)
\(\Leftrightarrow CE=\dfrac{HC^2}{AC}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB\cdot AC=AH\cdot BC\\AH^2=HB\cdot HC\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(BD\cdot CE\cdot BC\)
\(=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{CH^2}{AC}\cdot BC\)
\(=\dfrac{\left(BH\cdot CH\right)^2\cdot BC}{AH\cdot BC}\)
\(=\dfrac{AH^2}{AH}=AH^3\)(1)
Xét tứ giác AEHD có
\(\widehat{EAD}=90^0\)
\(\widehat{ADH}=90^0\)
\(\widehat{AEH}=90^0\)
Do đó: AEHD là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Suy ra: AH=ED(hai đường chéo của hình chữ nhật AEHD)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(DE^3=BD\cdot CE\cdot BC\)
