Question

Answer 1

\(g'\left(x\right)=\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}-2\right)f'\left(\sqrt{x^2+1}-2x\right)\)

Do \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}-2< 0\) ; \(\forall x\Rightarrow g'\left(x\right)=0\Leftrightarrow f'\left(\sqrt{x^2+1}-2x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+1}-2x=-1\\\sqrt{x^2+1}-2x=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

\(g'\left(x\right)\) trái dấu \(f'\left(\sqrt{x^2+1}-2x\right)\) ;

Tại \(x=1\Rightarrow\sqrt{x^2+1}-2x=\sqrt{2}-2\in\left[-1;1\right]\Rightarrow f'\left(\sqrt{x^2+1}-2x\right)< 0\)

\(\Rightarrow g'\left(x\right)>0\)

Tại \(x=-1\Rightarrow\sqrt{x^2+1}-2x=\sqrt{2}+2>1\Rightarrow f'\left(\sqrt{x^2+1}-2x\right)>0\Rightarrow g'\left(x\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) Khi đi qua \(x=0\) thì \(g'\left(x\right)\) đổi dấy từ âm sang dương nên \(x=0\) là điểm cực tiểu \(\Rightarrow x=\dfrac{4}{3}\) là điểm cực đại

\(\Rightarrow g\left(x\right)_{CĐ}=g\left(\dfrac{4}{3}\right)=f\left(\sqrt{\dfrac{16}{9}+1}-2.\dfrac{4}{3}\right)=f\left(-1\right)=7\)