tìm nghiệp nguyên dương của phương trình

\(\left(x^3+y^3\right)+4\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)=16xy\\\)

cho tứ giác ABCD gọi A' là điểm đối xứng với A qua B,B' là điểm đối xứng với B qua C,C' là điểm đối xứng với C qua D,D' là điểm đối xứng với D qua A . Biết diện tích ABCD = a . tính diện tích A'B'C'D'

\(B=x^2+2y^2-2xy+2x-10y+2028\\ =x^2+y^2+1-2xy+2x-2y+y^2-8y+16+2011\\ =\left(x-y+1\right)^2+\left(y-4\right)^2+2011\ge2011\)

vì \(\left(x-y+1\right)^2\ge0;\left(y-4\right)^2\ge0\)

min B = 2011 khi \(\left\{{}\begin{matrix}y-4=0\\x-y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}y=4\\x=3\end{matrix}\right.\)

ta có \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow1\ge4ab\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4ab}\ge1\Rightarrow\frac{8}{4ab}\ge8\) hay \(\frac{2}{ab}\ge8\)

ta có

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\\ =1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\\ =1+\frac{a+b+1}{ab}\\ =1+\frac{2}{ab}\ge1+8=9\)

(đpcm)