Question

tìm nghiệp nguyên dương của phương trình

\(\left(x^3+y^3\right)+4\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)=16xy\\\)

Answer 1

Ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Và \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

( dấu '=' xảy ra khi a=b)

Áp dụng các bđt trên ta có

\(x^3+y^3+4\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)=x^3+y^3+4x^2+4y^2+4x+4y=x^3+4x^2+4x+y^3+4y^2+4y=x\left(x^2+4x+4\right)+y\left(y^2+4y+4\right)=x\left(x+2\right)^2+y\left(y+2\right)^2\ge x.8x+y.8y=8\left(x^2+y^2\right)\ge8.2xy=16xy\Leftrightarrow x^3+y^3+4\left(x^2+y^2\right)+4\left(x+y\right)\ge16\)

Dấu '=' xảy ra khi x=y=2

Vậy (x;y)=(2;2)