Ta có: \(-x^2+2x-3=-x^2+2x-1-2=-\left(x-1\right)^2-2\le-2\) (1)

Và \(A=\dfrac{-5}{x^2-2x+3}=\dfrac{5}{-x^2+2x+3}\) (2)

Từ (1);(2)\(\Rightarrow A\ge-\dfrac{5}{2}\) Vậy min A=-5/2 khi x=1

Ta có: \(m=\dfrac{a}{3}+\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{a^3}{6}\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{2a+3a^2+a^3}{6}\) (quy đồng VP)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{a\left(2+3a+a^2\right)}{6}=\dfrac{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{6}\) (*)

Vì a là số nguyên nên: \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮6\) (tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 2) (**)

Từ (*);(**) suy ra m là số nguyên

Vì x;y;z là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức cô si dạng engel ta có:

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{9}{x+y+z}\) (1)

Và \(x+y+z\le6\) (2)

Từ (1);(2)\(\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)

a) \(2x^2+5y^2+8x-10y+13=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2+8x+8\right)+\left(5y^2-10y+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+2\right)^2+5\left(y-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+2\right)^2=0\\5\left(y-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy x=-2;y=1

b) \(3x^2+5y^2-6x+20y+23=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x^2-6x+3\right)+\left(5y^2+20y+20\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2+5\left(y+2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(x-1\right)^2=0\\5\left(y+2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy x=1;y=-2

a) Ta có: \(B\widehat{A}H+\widehat{B}=90\) (2 góc nhọn phụ nhau trong \(\Delta ABH\)) (1)

Và \(\widehat{B}+A\widehat{C}B=90\) (2 góc nhọn phụ nhau trong \(\Delta ABC\)) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow B\widehat{A}H=A\widehat{C}B=H\widehat{C}A\)

b) Ta có:\(\Delta ABD\) Cân tại góc B (AB=BD)

\(\Rightarrow B\widehat{A}D=B\widehat{D}A\) (3)

Mặt khác: \(H\widehat{A}D+H\widehat{D}A=90\) (4)

Và \(D\widehat{A}K+D\widehat{A}B=\widehat{A}=90\) (*)

Từ (3);(4);(*)\(\Rightarrow H\widehat{A}D=D\widehat{A}K\)

Dễ thấy \(\Delta AHD=\Delta AKD\) ( \(H\widehat{A}D=D\widehat{A}K\);AD chung)

\(\Rightarrow AH=AK\)

c)Ta có: HD=DK (tam giác AHD=tam giác AKD)

Và \(H\widehat{D}E=K\widehat{DC}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\Delta\perp HED=\Delta\perp KCD\) (cạnh huyền-góc nhọn)

\(\Rightarrow KC=HE\) (**)

Theo kết quả CM của câu b và (**)

\(\Rightarrow AH+HE=AK+KC\)

\(\Leftrightarrow AE=AC\Rightarrow\Delta AEC\) cân tại A

Mà AD là đường phân giác của t/g cân AEC (\(H\widehat{A}D=K\widehat{A}D\))

Suy ra AD phải là đường cao

\(\Rightarrow\) AD vuông góc với EC

Gọi x(học sinh) là số học sinh lớp 8A (\(0\le x\le80\))

Số học sinh lớp 8B là: \(80-x\)

Số sách lớp 8A ủng hộ là: 2x (quyển)

Số sách lớp 8B ủng hộ là: 3(80-x) (quyển)

Theo đề bài 2 lớp goáp được 198 quyển nên ta có phương trình:

\(2x+3\left(80-x\right)=198\)

\(\Leftrightarrow2x+240-3x=198\)

\(\Rightarrow x=42\) (học sinh) (TMĐK)

Vậy số học sinh lớp 8A là: 42 học sinh

Số học sinh lớp 8B là: \(80-x=80-24=56\) học sinh

Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (đpcm)

Vậy \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

***) Vì \(x,y\ge0\) và \(x^2+y^2=1\) nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}0\le x\le1\\0\le y\le1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3\le x^2\\y^3\le y^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^3+y^3\le x^2+y^2=1\)

Vậy Max A=1 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3=x^2\\y^3=y^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0;y=1\\x=1;y=0\end{matrix}\right.\)

***) Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge x^2+y^2+2xy=\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\Leftrightarrow x+y\le\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{x+y}{\sqrt{2}}\le1\) (1)

Áp dụng BĐT Bunyakovsky có:

\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{x^3}\cdot\sqrt{x}+\sqrt{y^3}\cdot\sqrt{y}\right)^2=\left(x^2+y^2\right)^2=1\) (2)

Mặt khác: \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)}{\sqrt{2}}\) (theo 1) (3)

Từ (2);(3) \(\Rightarrow x^3+y^3\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Vậy min A=\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Oxi hóa hết 2,3 gam toluen bằng dung dịch KMnO₄ thu được axit benzoic. Khối lượng benzoic tạo thành là:

A. 3,5 gam

B. 5,03 gam

C. 5,3 gam

D. 3,05 gam

Ta có: \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge+2a+2b+2c-3\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c\right)-3\) (đpcm)

Vậy \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(a+b+c\right)-3\)