Vì \(\Delta\) MNP cân tại M

=> MN = MP

Vì MI là tia phân giác \(\widehat{NMP}\)

=> \(\widehat{NMI}\) = \(\widehat{PMI}\)

Xét \(\Delta\) MNI và \(\Delta\) MPI có :

MN = MP ( chứng minh trên )

\(\widehat{NMI}\) = \(\widehat{PMI}\) ( chứng minh trên )

chung MI

=> \(\Delta\) MNI = \(\Delta\) MPI ( c-g-c )

=> ĐPCM

câu trả lời ở :

"https://hoc 24.vn/hoi - dap/question/182956.html

Vì BD là tia phân giác \(\widehat{ABC}\)

=> \(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{DBC}\)

Xét \(\Delta\) ABD và \(\Delta\) KBD có :

BA = BK ( gt )

\(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{KBD}\) ( chứng minh trên )

chung BD

=> \(\Delta\) ABD = \(\Delta\) KBD ( c-g-c )

=> \(\widehat{A}\) = \(\widehat{BKD}\) ( cặp góc tương ứng )

mà \(\widehat{A}\) = 90\(^0\)

=> \(\widehat{BKD}\) = 90\(^0\)

a) Vì N là trung điểm của DE

=> DN = EN (1)

Vì M là trung điểm của DF

=> DM = MF (2)

Vì \(\Delta\) DEF cân tại D

=> DE = DF (3)

và \(\widehat{DEF}\) = \(\widehat{DFE}\)

Từ (1), (2), (3) ta có :

DN = NE = DM = MF

Xét \(\Delta\) DEM và \(\Delta\) DFN có :

DE = DF (chứng minh trên )

chung \(\widehat{D}\)

DM = DN ( chứng minh trên )

=> \(\Delta\) DEM = \(\Delta\) DFN ( c-g-c)

=> EM = FN ( cặp cạnh tiwowng ứng )

và \(\widehat{DEM}\) = \(\widehat{DFN}\) ( cặp góc tương ứng )

b) Theo câu a) :

\(\widehat{DEF}\) = \(\widehat{DFE}\)

=> \(\widehat{DEM}\) + \(\widehat{MEF}\) = \(\widehat{DFN}\) + \(\widehat{NFE}\)

mà \(\widehat{DEM}\) = \(\widehat{DFN}\)

=> \(\widehat{MEF}\) = \(\widehat{NFE}\)

Trong \(\Delta\) EKF có :

\(\widehat{KEF}\) = \(\widehat{KFE}\)

=> \(\Delta\) KEF cân tại K

=> KE = KF

=> ĐPCM

Từ I hạ các đường vuông góc với AB, AC, BC lần lược tại F, E, D

Vì BI là tia phân giác \(\widehat{ABC}\)

=> \(\widehat{ABI}\) = \(\widehat{DBI}\)

Xét \(\Delta\) FBI vuông tại F và \(\Delta\) DBI vuông tại D có:

\(\widehat{FBI}\) = \(\widehat{DBI}\) ( chứng minh trên )

chung BI

=> \(\Delta\) FBI = \(\Delta\) DBI ( ch-gn)

=> FI = DI ( cặp cạnh tương ứng ) (1)

Tương tự ta có :

EI = FI (2)

Từ (1) và (2) ta có :

EI = FI

Xét \(\Delta\) AFI và \(\Delta\) AEI có :

FI = EI ( chứng minh trên )

chung AI

=> \(\Delta\) AFI = \(\Delta\) AEI (ch - cgv )

=> \(\widehat{FAI}\) = \(\widehat{EAI}\) ( cặp góc tương ứng )

=> AI là tia phân giác \(\widehat{FAE}\)

hay AI là tia phân giác \(\widehat{BAC}\)

=> ĐPCM

*) CHÚ Ý :

ch - gn : cạnh huyền - góc nhọn

ch - cgv : cạnh huyền - cạnh góc vuông

Ta có : \(\frac{14-x}{4-x}\) = \(\frac{10+4-x}{4-x}\)

= \(\frac{10+\left(4-x\right)}{4-x}\)

= \(\frac{4-x}{4-x}\) + \(\frac{10}{4-x}\)

= 1+ \(\frac{10}{4-x}\)

Vì x \(\in\) Z

=> 4 - x \(\in\) Z

Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\frac{10}{4-x}\) phải đạt giá trị nhỏ nhất

=> 4 - x đạt giá trị lớn nhất ( 4 - x \(\ne\) 0 )

và 4 - x < 0 ; 4 - x \(\in\) Z

Do đó : 4-x = -1

=> x = 4 + 1

=> x = 5

Khi đó : P = \(\frac{14-5}{4-5}\)

= \(\frac{-11}{-1}\)

= 11

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 11 khi x = 5

Từ O vẽ các đoạn thẳng OA;OB;OC

Áp dụng định lý pytago vào :

+) \(\Delta\) AFO có :

AO² = AF² + OF²

=> AF² = AO² - OF² (1)

+) \(\Delta\) BOG có :

BO² = BG² + OG²

=> BG² = BO² - OG² (2)

+) \(\Delta\) COH có :

OC² = OH² + HC²

=> CH² = OC² - OH² (3)

+) \(\Delta\)BFO có :

OB² = OF² + FB²

=> BF² = OB² - OF² (4)

+) \(\Delta\) CGO có :

OC² = OG² + CG²

=> CG² = OC² - OG² (5)

+) \(\Delta\) AOH có :

OA² = OH² + AH²

=> AH² = OA² - OH² (6)

Từ (1), (2), (3) ta có :

AF² + BG² + CH² = AO² - OF² + BO² - OG² + OC² - OH²

= ( OB² - OF² ) + ( OC² - OG² ) + ( OA² - OH² ) (*)

Thay (4),(5),(6) vào (*) ta có :

AF² + BG² + CH² = BF² + CG² + AH²

=>ĐPCM

a) Vì \(\Delta\) ABC cân tại A nên \(\widehat{B}\) = \(\widehat{ACB}\)

Vì MK // AC

=> \(\widehat{ACB}\) = \(\widehat{MKB}\) (đồng vị )

Trong \(\Delta\)BMK có : \(\widehat{B}\) = \(\widehat{MKB}\)

=> \(\Delta\)BMK cân tại M

b) Áp dụng định lý tổng ba góc trong tam giác vào \(\Delta\) ABC có :

\(\widehat{A}\) + \(\widehat{B}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180⁰

=> \(\widehat{B}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180^{0 - \(\widehat{A}\)}

^=> \(\widehat{B}\) + \(\widehat{ACB}\) = 180⁰ - 70⁰

=> \(\widehat{B}\) + \(\widehat{ACB}\) = 110⁰

mà \(\widehat{B}\) = \(\widehat{ACB}\) ( theo câu a )

=> \(\widehat{B}\) = \(\widehat{ACB}\) = 110⁰ : 2

=> \(\widehat{B}\) = \(\widehat{ACB}\) = 55⁰

Ta có : \(\widehat{B}\) + \(\widehat{A}\) = \(\widehat{BCN}\) ( tính chất góc ngoài tam giác )

=> 55⁰ + 70⁰ = \(\widehat{BCN}\)

=> \(\widehat{BCN}\) = 125⁰

c) Đặt giao điểm của BC và MN là D

Vì \(\Delta\)BMK cân tại M ( theo câu a)

=> BM = MK

mà BM = CN (gt)

=> MK = CN

Vì MK //AN

=> \(\widehat{KMD}\) = \(\widehat{N}\) ( so le trong )

và \(\widehat{MKD}\) = \(\widehat{DCN}\) (so le trong )

Xét \(\Delta\) MKD và \(\Delta\)NCD có :

\(\widehat{KMD}\) = \(\widehat{N}\) ( chứng minh trên )

\(\widehat{MKD}\) = \(\widehat{DCN}\) ( chứng minh trên )

=> \(\Delta\)MKD = \(\Delta\) NCD ( g-c-g )

=> KD = DC ( cặp cạnh tương ứng )

=> D là trung điểm của KC

mà H là trung điểm của KC

=> D trùng H

Mà D \(\in\) MN

=> H \(\in\) MN

=> ba điểm M , H , N thẳng hàng

=> ĐPCM

ko có yêu cầu đề thì sao làm được ?

Ta có : B = \(\frac{8-x}{x-3}\)

=> B = \(\frac{-x+8}{x-3}\)

= \(\frac{-x+3+5}{x-3}\)

= \(\frac{-\left(x-3\right)+5}{x-3}\)

= \(\frac{-\left(x-3\right)}{x-3}\) + \(\frac{5}{x-3}\)

= -1 + \(\frac{5}{x-3}\)

Vì x \(\in\) Z => x - 3 \(\in\) Z

Để B đạt giá trị bé nhất thì \(\frac{5}{x-3}\) đạt giá trị bé nhất

=> x-3 đạt giá trị lớn nhất ( với x-3 \(\ne\) 0)

và x - 3 < 0 ; x-3 \(\in\) Z

Do đó : x -3 = - 1

=> x = -1 + 3

=> x = 2

Khi đó : B = \(\frac{8-2}{2-3}\) = \(\frac{6}{-1}\) = -6

Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng -6 khi x = 2