gọi mỗi vòi 1 chảy riêng đầy bể trong a (h),vòi 2trong b(h) (a,b>1,5)

trong 1 h vòi 1 chảy được \(\frac{1}{a}\)(bể), vòi 2 chảy được\(\frac{1}{b}\)(bể),cả 2 vòi chảy được \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}\)(bể)

mà cả 2 vòi cùng chảy sau 1h 30' =1,5h đầy bể nên \(\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{1,5}=\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}\)(1)

nếu mở vòi 1 trong 15'=0,25h rồi khóa lại mở vòi 2 trong 20'=1/3 h thì được 1/5 bể:

\(\frac{0,25}{a}+\frac{1}{3b}=\frac{1}{5}\Leftrightarrow\frac{1}{4a}+\frac{1}{3b}=\frac{1}{5}\)(2)

từ 1 và 2 ta có hệ:\(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{2}{3}\\\frac{1}{4a}+\frac{1}{3b}=\frac{1}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}a=3,75\\b=2,5\end{matrix}\right.\)(tm a,b>1,5)

vậy...

ta có:\(x^4-2y^2+1=y^4-2z^2+1=z^4-2x^2+1=0\)

\(\rightarrow x^4+y^4+z^4-2x^2-2y^2-2z^2+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^4-2x^2+1\right)+\left(y^4-2y^2+1\right)+\left(z^4-2x^2+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)^2+\left(y^2-1\right)^2+\left(z^2-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x^2=1\\y^2=1\\z^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\pm1\\y=\pm1\\z=\pm1\end{matrix}\right.\)

từ đó tính được M (lưu ý thử từng trường hợp)

BĐt phụ: \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)(cauchy)

cm: áp dụng BĐT bunhiacopxki:\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(dấu = xảy ra khi a=b)

áp dụng vào bài toán ta có:

\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{1}{2}\left(2+\frac{4}{a+b}\right)^2\)

\(M\ge\frac{1}{2}\left(2+4\right)^2=18\)

dấu =xảy ra khi a=b=0,5

vậy M min =18 khi a=b=1/2

a)\(x^5+x^2+2x+2=0\Leftrightarrow x^2\left(x^3+1\right)+2\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)+2\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^4-x^3+x^2+2\right)=0\)

mà \(x^4-x^3+x^2+2>0\forall x\)=> x=-1

vậy...

b)\(x^4=4x-3\Leftrightarrow x^4-4x+3=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^3+x^3-x^2+x^2-x-3x+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3-x^2+2x^2-2x+3x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^2+2x+3\right)=0\)

mà x²+2x+3=(x+1)²+2>0 vs mọi x=> x=1

vậy....

đặt x+3=a

pt trở thành: (a-1)²+a³+(a+1)⁴=2

\(\leftrightarrow a^2-2a+1+a^3+a^4+4a^3+6a^2+4a+1=2\)

\(\leftrightarrow a^4+5a^3+7a^2+2a=0\)

\(\leftrightarrow a\left(a^3+2a^2+3a^2+6a+a+2\right)=0\)

\(\leftrightarrow a\left(a+2\right)\left(a^2+3a+1\right)=0\)

\(\leftrightarrow\left[\begin{matrix}a=0\\a=-2\\a^2+3a+1=0\end{matrix}\right.\leftrightarrow\left[\begin{matrix}a=0\\a=-2\\a=\frac{\sqrt{5}-3}{2}\\a=\frac{-\sqrt{5}-3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-5\\x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}-3=\frac{\sqrt{5}-9}{2}\\x=\frac{-\sqrt{5}-3}{2}-3=\frac{-\sqrt{5}-9}{2}\end{matrix}\right.\)

vậy...

\(\)

đặt x+4=a

pt trở thành (a+1)⁴+(a-1)⁴=2

\(\leftrightarrow a^4+4a^3+6a^2+4a+1+a^4-4a^3+6a^2-4a+1=2\)

\(\leftrightarrow2a^4+12a^2+2=2\leftrightarrow a^2\left(a^2+12\right)=0\)

a²+12>0 vs mọi a=> a=0 =>x+4=0 <=> x=-4

vậy...

\(\left\{\begin{matrix}mx-y=2m\\4x-my=m+6\end{matrix}\right.\leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=\frac{2m+y}{m}=2+\frac{y}{m}\left(1\right)\\4\left(2+\frac{y}{m}\right)-my=m+6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)(đk:m khác 0)

từ (2):\(8+\frac{4y}{m}-my=m+6\leftrightarrow\frac{4y-m^2y}{m}=m-2\)

\(\leftrightarrow y\left(2-m\right)\left(2+m\right)=m\left(m-2\right)\)

Nếu m=2 => 0=0 hệ có vô số nghiệm \(\left\{\begin{matrix}x=\frac{y+4}{2}\\y\in R\end{matrix}\right.\)

Nếu m=-2 => 0=8 , hệ vô nghiệm

Nếu m=0 , hệ có 1 nghiệm \(\left\{\begin{matrix}x=1,5\\y=0\end{matrix}\right.\)

Nếu \(m\ne0;m\ne\pm2\),hệ có 1 nghiệm duy nhất \(\left\{\begin{matrix}x=2+\frac{y}{m}=2-\frac{1}{m+2}=\frac{2m+3}{m+2}\\y=\frac{-m}{m+2}\end{matrix}\right.\)

vậy...

B₁: gọi thời gian theo kế hoạch 2 đội phải làm xong công việc là x(ngày)(x>2)

thời gian đội 1 làm xọng công việc: x-2 ngày

=> năng suất của đội 1: \(\frac{40}{x-2}\)(ha/ngày)

thời gian đội 2 làm xong công việc:x+2 ngày

=> năng suất của đội 2: \(\frac{90}{x+2}\)(ha/ngày)

nếu đội 1làm trong 1 thời gian = đội 2 làm (tức x+2 ngày) thì làm được:\(\frac{40}{x-2}.\left(x+2\right)=\frac{40\left(x+2\right)}{x-2}\) (ha)

đội 2 làm trong thời gian = đội 1 làm( x-2 ngày) thì làm được:\(\frac{90}{x+2}.\left(x-2\right)=\frac{90\left(x-2\right)}{x+2}\)(ha)

khi đó cả 2 đội tròng được như nhau nên \(\frac{40\left(x+2\right)}{x-2}=\frac{90\left(x-2\right)}{x+2}\)

giải ra x=10 ( t/m x>2)

vậy time theo dự định ...

B₂

gọi thời gian làm 1 mình xong cv của đội 1 là x(h)(x>0)

thời gian làm 1 mình xong cv của đội 2 là y (h)(y>4)

1h đội 1 làm được \(\frac{1}{x}\)(cv),đội 2 làm được \(\frac{1}{y}\)(cv)

1h cả 2 đội làm được \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}\)(cv)

do đó thời gian để cả 2 đội cùng làm xong cv là\(\frac{xy}{x+y}\)(h)

thời gian để đội 1 làm 1 mình ít hơn tg để đội 2 làm 1 mình xong cv là 4 h: x+4=y(1)

tổng thời gian 2 đội làm 1 mình gấp 4,5 lần thời gian 2 đội cùng làm:\(x+y=4,5.\frac{xy}{x+y}\leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\frac{9}{2}xy\)(2)

từ (1)và (2) ta có hệ \(\left\{\begin{matrix}x+4=y\\\left(x+y\right)^2=\frac{9}{2}xy\end{matrix}\right.\leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=y-4\\\left(2y-4\right)^2=\frac{9}{2}\left(y-4\right)y\end{matrix}\right.\)

\(\leftrightarrow\left\{\begin{matrix}x=y-4\\\left[\begin{matrix}y=8\\y=-4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)mà y>4=> hệ có nghiệm \(\left\{\begin{matrix}x=4\\y=8\end{matrix}\right.\)(tmdk)

vậy...

P/s: bn tự vẽ hình nhé

ta có:\(\widehat{BAy}=\widehat{CAx}\)(đối đỉnh)

mà\(\widehat{BAC}\)là góc nội tiếp của đtr (o) chắn cung nhỏ BC

=>\(\widehat{BAC}=\frac{1}{2}sđBC\)mà sđBC = \(\widehat{BOC}\)=>\(\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)

=> 180^o-\(\widehat{BAC}\)=180^o- \(\frac{1}{2}\widehat{BOC}\)

=>\(\widehat{BAy}=180^o-\frac{1}{2}\left(360^o-sđBAC\right)\)

\(\widehat{BAy}=180^o-180^o+\frac{1}{2}sđBAC=\frac{1}{2}sđBAC\)(sđBAC: cung lớn BC chứa A)

vậy\(\widehat{BAy}=\widehat{CAx}=\frac{1}{2}sđBAC\)