câu 2:

HPT\(\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}6x+2xy=24\left(1\right)\\x^2+y^2+7y=20\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

cộng vế với vế 2 pt (1) và (2):

\(x^2+y^2+2xy+7x+7y=44\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+7\left(x+y\right)-44=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)\left(x+y+11\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x+y=4\\x+y=-11\end{matrix}\right.\)

với x+y=4 <=> x=4-y.thế vào pt (1):3(4-y)+(4-y)y=12

\(\Leftrightarrow12-3y+4y-y^2=12\Leftrightarrow y^2-y=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}y=0\\y=1\end{matrix}\right.\)

y=0 => x=4

y=1=> x=3

tương tự với TH còn lại

ta có:\(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)(cái nầy quen \(\in\) r)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)(1)

\(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\)

tương tự ta cũng có:\(y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\)(2)

cộng theo vế (1)và (2): \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)\)

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2.6=12\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

dấu = xảy ra khi x=y=z=1

giả sử có tồn tại số TN n để \(2012+n^2\)là SCP

đặt \(2012+n^2=m^2\Leftrightarrow\left(m+n\right)\left(m-n\right)=2012\)(m thuộc Z)

m+n>m-n .ta có bảng:

giải bảng trên kết hợp với Đk n là số TN, ta thu được n=502 khi m=504 hoặc -504

câu 3:

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}=2\sqrt{503}\)(ĐK:\(x,y\ge0\))

vì x,y nguyên mà \(2\sqrt{503}\)là số vô tỉ nên \(\sqrt{x};\sqrt{y}\)chỉ tách được thành tổng 2 căn thức có phần dưới căn là 503 (tức chỉ có thể tách thành \(1\sqrt{503}+1\sqrt{503}=2\sqrt{503}\)

hay \(0.\sqrt{503}+2\sqrt{503}=2\sqrt{503}\))(x,y >=0)

mà theo đề bài x<y => x=0,y=\(\sqrt{y}=2\sqrt{503}\Rightarrow y=2012\)

câu 2:DKXĐ: x \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\);\(x\ne0\);1

PT\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x-1\right)^2}-\frac{1}{x^2}=\sqrt{x+2}-\sqrt{3x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2\left(x-1\right)^2}=\frac{x+2-3x-1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-1}}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left(\frac{1}{x^2\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+1}}\right)=0\)

vì \(\frac{1}{x^2\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+1}}\ne0\)nên pt có nghiệm x= \(\frac{1}{2}\)

\(D=9x^2+3x+\frac{1}{x}+1420=9x^2-6x+1+9x+\frac{1}{x}+1419\)

\(D=\left(3x-1\right)^2+9x+\frac{1}{x}+1419\)

Áp dụng BĐT cauchy :\(9x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}=6\)

\(\Rightarrow D\ge\left(3x-1\right)^2+1419+6\ge1425\)

dấu = xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{3}\\9x=\frac{1}{x}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}}\)