\(PT\Leftrightarrow x^2=\dfrac{y^2-1}{y+2}=\dfrac{y^2-4+3}{y+2}=y-2+\dfrac{3}{y+2}\)

Vì \(x,y\in Z\)\(\Rightarrow\dfrac{3}{y+2}\in Z\)

\(y+2\in\left\{-1;1;-3;3\right\}\)

\(\Rightarrow y\in\left\{-3;-1;-5;1\right\}\)

Thử lại tìm x, ta thu được (x,y)=(0;-1);(0;1)

\(PT\Leftrightarrow3x^3-3x^2-3x=1\)

\(\Leftrightarrow3x^3=3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow4x^3=\left(x+1\right)^3\Leftrightarrow x+1=\sqrt[3]{4}x\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}-1}\)

TQ:\(S_n=\dfrac{1}{\left(n+n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)}\)

Mà theo AM-GM:\(n+\left(n+1\right)\ge2\sqrt{n\left(n+1\right)}\)

\(\Rightarrow S_n\le\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Áp dụng:\(S< \dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{48}}-\dfrac{1}{\sqrt{49}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{7}\right)=\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}\)

Một cái định được cắm vuông góc vào tâm O của một tấm gỗ hình tròn có bán kính R = 7cm. Tấm gỗ được thả nổi trên mặt thoáng của một chậu nước. Đầu A của đinh ở trong nước. Cho chiết suất của nước là n = 4 3 . Để mắt không còn nhìn thấy đầu A của đinh thì khoảng cách OA lớn nhất là:

A. 3,5cm

B. 7,2cm

C. 4,4cm

D. 6,2cm

a) auto prove

b) Ta có:\(BE.AB=BH^2\)(hệ thức về cạnh và đường cao trong tg v)

\(\Rightarrow BE=\dfrac{BH^2}{AB}\)\(\Rightarrow BE^2=\dfrac{BH^4}{AB^2}\)

Tương tự với CF,ta có: \(BE^2+CF^2=\dfrac{BH^4}{AB^2}+\dfrac{HC^4}{AC^2}\ge\dfrac{\left(HB^2+HC^2\right)^2}{AB^2+AC^2}\)( BĐT cauchy-schwarz)

Mà \(HB^2+HC^2\ge\dfrac{1}{2}\left(HB+HC\right)^2=\dfrac{1}{2}.BC^2\)(BĐT bunyakovsky)

\(\Rightarrow BE^2+CF^2\ge\dfrac{\dfrac{1}{4}BC^4}{BC^2}=\dfrac{BC^2}{4}=\dfrac{4a^2}{4}=a^2\)

Dấu = xảy ra khi tam giác ABC vuông cân ở A

It's really.. can be solved ?

Xét P=\(2016^2+2016^2.2017^2+2017^2\)

Đặt \(a=2016\)\(\Rightarrow P=a^2+a^2.\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2\)

\(=a^2+a^2\left(a^2+2a+1\right)+a^2+2a+1\)

\(=a^4+2a^3+3a^2+2a+1\)

\(=\left(a^2+a+1\right)^2\)

\(PT\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=-\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\)

Dễ thấy PT có nghiệm khi cả 2 vế bằng 0 .

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\x-1=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=2\)( tm)

có cái CT này \(\sqrt{X}-\sqrt{Y}\le\sqrt{X-Y}\)

Dấu = xảy ra khi y=0