từ giả thiết ,ta có:\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\)\(\Leftrightarrow a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1\)---> thay 1= vào ...

thằng đổi= đồi thẳng = đồi không cong = còng không đôi = còng không hai = hài không cong = hài thẳng = thằng Hải

Một đèn pin đang sáng, nếu tháo pin ra và đảo chiều một cục pin thì hiện tượng gì sẽ xảy ra?

A. Đèn vẫn sáng

B. Đèn không sáng

C. Đèn sẽ bị cháy

D. Đèn sáng mờ.

\(1\le\overline{zt}^2\le81\Leftrightarrow1\le\overline{zt}\le9\)\(\Rightarrow z=0\)

\(PT\Leftrightarrow10x+y=10y+\overline{t}^2\)

\(\Leftrightarrow10x-9y=\overline{t}^2\)

(*) t=1 \(\Rightarrow10x-9y=1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

(*) t=2 \(\Rightarrow10x-9y=4\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=4\end{matrix}\right.\)

(*) t=3\(\Rightarrow10x-9y=9\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=9\end{matrix}\right.\)

(*) t=4 \(\Rightarrow10x-9y=16\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=7\\y=6\end{matrix}\right.\)

(*) t=5 .....

Gọi MN là khoảng cách giữa 2 đường thẳng a và b thì I là trung điểm của MN. Kẻ IH vuông góc với AB .Lấy P là trug điểm của AB

Xét hình thang ABNM có: I là trung điểm MN; P là trung điểm AB (cv) \(\Rightarrow\) IP là đường trung bình của hình thang ABNM

\(\Rightarrow\)IP//AM//BN.mà \(AM\perp MN\)nên \(IP\perp MN\)

\(\Rightarrow\widehat{BIN}+\widehat{BIP}=90^o\)(*)

Có: \(\widehat{AIB}=90^o\left(gt\right),\widehat{BIN}+\widehat{AIB}+\widehat{AIM}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BIN}+\widehat{AIM}=90^o\) . Từ (*) \(\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{BIP}\)

Xét tam giác AIB vuông ở I có: IP là đường trung tuyến

\(\Rightarrow IP=BP=\dfrac{1}{2}AB\)\(\Rightarrow\Delta BIP\) cân ở P \(\Rightarrow\widehat{BIP}=\widehat{ABI}\)

\(\Rightarrow\widehat{AIM}=\widehat{ABI}\)

Do đó \(\Delta AIM\)~\(\Delta ABI\)(g.g)\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{IAB}\)

Xét tam giác vuông AIM và tam giác vuông AIH có:

\(AI\) chung ,\(\widehat{MAI}=\widehat{IAH}\)(cmt) \(\Rightarrow\Delta AIM=\Delta AIH\)( chgn)

\(\Rightarrow IH=IM=\dfrac{1}{2}MN=l\)(cố định)

\(S_{AIB}=\dfrac{1}{2}AB.IH=\dfrac{1}{2}.l.AB\)

\(S_{AIB}\) nhỏ nhất khi AB nhỏ nhất . Và AB nhỏ nhất khi nó là đường vuông góc BK.

\(\Rightarrow S_{AIB}\ge\dfrac{1}{2}.l.2l=l^2\)

dấu = xảy ra khi tam giác AIB vuông cân ở I

\(GT\Leftrightarrow xy-xz-yz+z^2=z^2\)\(\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right).z\)

\(\Leftrightarrow xyz=z^2\left(x+y\right)\)(*)

Giờ chỉ cần chứng minh x+y là SCP

Gọi d (\(d\in N\))là Ước chung lớn nhất của x-z và y-z thì

\(\left\{{}\begin{matrix}x-z⋮d\\y-z⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x-y⋮d\) mà theo đề bài ,x và y là 2 số nguyên tố cùng nhau nên nó có ƯCLN là 1 nên \(d=1\)

nói cách khác, (x-z) và (y-z) là 2 số nguyên tố cùng nhau

mà tích của chúng là một số chính phương nên (x-z) và (y-z) cũng là 2 số chính phương.

\(\left\{{}\begin{matrix}x-z=a^2\\y-z=b^2\end{matrix}\right.\)(\(a,b\in N\)) \(\Rightarrow a^2b^2=z^2\Leftrightarrow ab=z\) ( do z nguyên dương)

do đó :\(x+y=a^2+b^2+2z=a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\)( \(a,b\in N\)) là SCP

Từ (*) ta suy ra xyz là số chính phương

\(S=\dfrac{4}{1.2.3}-\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{6}{2.3.4}-\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{4018}{2008.2009.2010}-\dfrac{1}{2008.2009.2010}\)

\(=\left(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{2.4}+...+\dfrac{2}{2008.2010}\right)-\left(\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{2008.2009.2010}\right)\)

\(=\left(\dfrac{2}{1.3}+\dfrac{2}{3.5}+...+\dfrac{2}{2007.2009}\right)+\left(\dfrac{2}{2.4}+\dfrac{2}{4.6}+...+\dfrac{2}{2008.2010}\right)-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{1.2.3}+\dfrac{2}{2.3.4}+...+\dfrac{2}{2008.2009.2010}\right)\)

\(=\left(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{2007}-\dfrac{1}{2009}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{2008}-\dfrac{1}{2010}\right)-\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2008.2009}-\dfrac{1}{2009.2010}\right)\)

\(=\left(1-\dfrac{1}{2009}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2010}\right)-\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2009.2010}\right)\)

\(=1-\dfrac{1}{2009}-\dfrac{1}{2010}+\dfrac{1}{2009.2010}\)

\(=\dfrac{1}{2010}\left(\dfrac{1}{2009}-1\right)-\left(\dfrac{1}{2009}-1\right)\)

\(=\left(\dfrac{1}{2010}-1\right)\left(\dfrac{1}{2009}-1\right)=\dfrac{2009}{2010}.\dfrac{2008}{2009}=\dfrac{1004}{1005}\)

Giả sử 100 số tự nhiên đã cho đôi một khác nhau và \(a_1\ge1\),\(a_2\ge2\),..\(a_{100}\ge100\)( vì a là số tự nhiên)

\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{100}}}\le\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\)

Ta có điều sau:\(\dfrac{1}{2\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)

\(\Rightarrow S< 1+2.\left(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\)

\(=1+2.\left(10-1\right)=19\)( trái với giả thiết)

nên có ít nhất 2 trong 100 số đã cho bằng nhau .