Điều kiện : \(0\le x\ne9\)

Ta có : \(P=\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-3-2x+12\sqrt{x}-18-x-4\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-3x+8\sqrt{x}-24}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{\left(x+8\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{x+8}{\sqrt{x}+1}\)

Ta có : \(x^4-4x+5=\left(x^4-4x^2+4\right)+\left(4x^2-4x+1\right)=\left(x^2-2\right)^2+\left(2x-1\right)^2\ge0\)

Vì không đồng thời xảy ra dấu "=" nên ta có : \(\left(x^2-2\right)^2+\left(2x-1\right)^2>0\) 

hay \(x^4-4x+5>0\) 

ok                                                                               

a) Đặt \(t=\frac{1}{x}\) , ta có : \(A=t^2-4t+5=\left(t^2-4t+4\right)+1=\left(t-2\right)^2+1\ge1\)

=> Min A = 1 <=> t = 2 <=> x = 1/2

b) Đặt \(z=\frac{1}{y}\) , ta có ; \(B=-9z^2-18z+19=-9\left(z^2+2z+1\right)+28=-9\left(z+1\right)^2+28\le28\)

=> Max B = 28 <=> z = -1 <=> y = -1

a) Dễ dàng tính được : góc sCAM = góc CMA = \(\frac{180^o-120^o}{2}=30^o\)

=> góc BAC + góc CAM = 60 độ + 30 độ = 90 độ

=> MA vuông góc với AP

b) Dễ dàng cm được : tam giác ANP = tam giác CNM = tam giác PBM (c.g.c)

=> MN = MP = NP => MN = NP = MP

c) 

Chu vi hình chữ nhật là:

40:5/16=128(m)

Nửa chu vi hình chữ nhật là:

128:2=64(m)

Chiều rộng hình cữ nhật là:

64-40=24(m)

Diện tích hình chữ nhật là:

24x40=960(m^2)

Đ/s:960m^2

a) Ta có : \(5^2=3^2+4^2\) hay \(BC^2=AB^2+AC^2\)

áp dụng đ/l Pytago đảo ta có ABC là tam giác vuông tại A

b) \(AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}\)

\(BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{3^2}{5}=\frac{9}{5}\) 

\(CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}\) 

Dễ dàng cm được HDAE là hình chữ nhật

=> HD // AC , HE // AB

Áp dụng đl Ta let : \(\frac{HD}{AC}=\frac{HB}{BC}\Rightarrow HD=\frac{AC.BH}{BC}=\frac{\frac{4.9}{5}}{5}=\frac{36}{5}\)

\(HE=\sqrt{AH^2-HD^2}=\frac{48}{25}\)

Ta có : \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}\le\frac{a+b}{4}\)

Tương tự : \(\frac{bc}{b+c}\le\frac{b+c}{4}\) ; \(\frac{ac}{a+c}\le\frac{a+c}{4}\)

Cộng các bđt trên theo vế được : 

\(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{c+a}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)

Gọi khối lượng cà phê ở kho A là x (tấn) (x>0) , khối lượng cà phê ở kho B là y (tấn) (y>0)

Ta có hệ : \(\begin{cases}x=\frac{3}{5}y\\x-7=\frac{4}{9}\left(y+7\right)\end{cases}\)

giải hệ trên được : \(\begin{cases}x=39\\y=65\end{cases}\)

Vậy kho A chứa 39 tấn cà phê, kho B chứa 65 tấn cà phê

=> Cả hai kho chứa : 39 + 65 = 104 tấn cà phê 

Áp dụng bđt \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\) được : 

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\) (đpcm)