Áp dụng bđt Cauchy, ta có : \(\frac{a^2}{b}+b\ge2\sqrt{\frac{a^2b}{b}}=2a\)

tương tự : \(\frac{b^2}{c}+c\ge2b\) ; \(\frac{c^2}{a}+a\ge2a\)

\(\Rightarrow2\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

 \(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c\)(đpcm)

Ta có ; \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge0\)

Lại có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

Suy ra \(\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\right)-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b^2}-\frac{2a}{b}+1\right)+\left(\frac{b^2}{a^2}-\frac{2b}{a}+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}-1\right)^2+\left(\frac{b}{a}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu dc chứng minh

a) Gọi (d) : y = 2x-1 , (d') ; 4-3x

=> phương trình tọa độ giao điểm : 2x-1 = 4-3x <=> x = 5/4

thay x = 5/4 vào (d) : y = 3/2

Gọi N là tọa độ giao điểm thì N(5/4;3/2)

a) \(\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{c-3}{4}\Leftrightarrow\frac{2a-2}{4}=\frac{3b-6}{9}=\frac{c-3}{4}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau : \(\frac{2a-2}{4}=\frac{3b-6}{9}=\frac{c-3}{4}=\frac{2a+3b-c-2-6+3}{4+9-4}=\frac{45}{9}=5\)

Suy ra : \(\begin{cases}a=11\\b=17\\c=23\end{cases}\)

ĐKXĐ : \(a>0,a\ne1\)

a) \(\left(\frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}:\frac{\sqrt{a}+1}{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}+1}=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\)

b) \(B=1-\frac{1}{\sqrt{a}}< 1\)

O1 là góc nào, O2 là góc nào?

Tì số phần trăm giữa 2,88 và 4,8 là :

2,88 : 4,8 = 0,6 = 60 %

Đáp số : 60 %

Đầu tiên , cần chứng minh \(x^2+xy+y^2\ge0\) với mọi x,y thuộc tập số thực.

Thật vậy , đặt \(A=x^2+y^2+xy\Rightarrow2A=\left(x+y\right)^2+x^2+y^2\Rightarrow A\ge0\)

Ta có : \(a\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b+c\right)+b^2c^2=\left(a^2+ab+ac\right)\left(a^2+ab+ac+bc\right)+b^2c^2\)

Đặt \(x=a^2+ab+ac\) , \(y=bc\) , suy ra : 

\(x\left(x+y\right)+y^2\ge0\Leftrightarrow x^2+xy+y^2\ge0\)luôn đúng.

Vậy bđt ban đầu dc chứng minh

Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km) (x>0)

Suy ra : thời gian ô tô I đi hết quãng đường AB với vận tốc đã cho là : \(\frac{x}{50}\) (giờ)

thời gian ô tô II đi hết quãng đường AB với vận tốc đã cho là : \(\frac{x}{60}\) (giờ)

Vì Ô tô I đến sau ô tô II 36 phút = 3/5 giờ nên ta có pt : 

\(\frac{x}{50}-\frac{x}{60}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow x=180\)

Vậy quãng đường AB dài 180 km