a/ Xét tam giác ABE và tam giác ACD có :

AD = AE , góc A là góc chung của hai tam giác , AB = AC

=> tam giác ABE = tam giác ACD => CD = BE

b/ Dễ dàng chứng minh đc tam giác BED = tam giác CDE (c.c.c)

=> góc CED = góc CDE => tam giác ODE cân tại O => OD = OE (1)

Lại có BE = CD => OB = OC (2) ; góc BOD = góc EOC (đối đỉnh) (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra tam giác BOD = tam giác OCE (c.g.c)

Bạn chú ý : \(1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) với n là số tự nhiên.

Suy ra mỗi tổng trên đều là số chính phương

Áp dụng bđt \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\le\sqrt{\frac{a+b}{2}}\) :

Xét : \(N-M=2\sqrt{2014}-\left(\sqrt{2015}+\sqrt{2013}\right)\)

Theo bđt trên thì \(\frac{\sqrt{2013}+\sqrt{2015}}{2}\le\sqrt{\frac{2013+2015}{2}}\Leftrightarrow\sqrt{2013}+\sqrt{2015}\le2\sqrt{2014}\)

\(\Rightarrow N-M>0\Rightarrow N>M\)

a/ Ta có : \(\begin{cases}ME\text{//}AC\\BM=MC\end{cases}\) => ME là đường trung bình của tam giác ABC

=> AE = EB

Tương tự MF cũng là đường trung bình của tam giác ABC

=> AF = FC

b) Vì \(\begin{cases}AE=EB\\AF=FC\end{cases}\) => EF là đường trung bình của tam giác ABC => EF=1/2BC

c) Ta có : ME = MF = 1/2AB = 1/2AC

AE = AF = 1/2AB = 1/2AC

a/ Đặt BH = x (x>0) (đvđd) => CH = 100-x (đvđd)

Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác ta có : \(BH.HC=AH^2\) hay 

\(x\left(100-x\right)=48^2\Leftrightarrow x^2-100x+48^2=0\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=36\\x=64\end{array}\right.\)

1. Nếu x = 36 thì \(AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{48^2+36^2}=60\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{48^2+64^2}=80\)

2. Nếu x = 64 thì AB = 80 , AC = 60

b/ Ta có : góc ABD = góc ACB => góc ABD + góc ABC = góc ACB + góc ABC = 90 độ

=> BC vuông góc với BD tại B

Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông BDC có đường cao AB : 

\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{BD^2}+\frac{1}{BC^2}\)(đpcm)

Vì 2x = 3y = -2z nên -3y = -2x , 4z = -4x

=> 2x-3y+4z = 2x-2x-4x = 48 <=> x = -12

=> y = -8 ; z = 12

Từ giả thiết suy ra các tích x₁.x₂ , x₂x₃ , ... , x_nx₁ chỉ nhận một trong hai giá trị là 1 và (-1) . Mà x₁.x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁ = 0 => n = 2m

Đồng thời có m số hạng bằng 1 , m số hạng bằng -1 

Nhận thấy \(\left(x_1x_2\right)\left(x_2x_3\right)...\left(x_nx_1\right)=x_1^2.x_2^2.x_3^2...x_n^2=1\)

=> Số các số hạng bằng -1 phải là số chẵn => m = 2k

Do đó n = 4k => \(n⋮4\)

Ta có : \(S=\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}=\frac{c}{c+ac+abc}+\frac{ac}{ac+abc+abc^2}+\frac{1}{1+c+ac}\)

\(=\frac{c}{1+c+ac}+\frac{ac}{1+c+ac}+\frac{1}{1+c+ac}=\frac{1+c+ac}{1+c+ac}=1\)

Ta  có tổng số mặt là :

          5 x 2 = 10 ( mặt )

Số phút cần là :

           (10 x 2) : 2 = 10 ( phút )

            Đáp số : 10 phút

a/ Ta có : góc KAD = góc EAB vì cùng phụ với góc DAE ; AD = AB

=> tam giác DAK = tam giác ABE (cgv.gnk)

=> AK = AE => tam giác AKE là tam giác cân

b/ Áp dụng hệ thức về cạnh trong tam giác vuông :  \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}\) không đổi