Ta có \(\frac{1+2b}{18}=\frac{1+4b}{24}\Leftrightarrow24+48b=18+72b\Leftrightarrow24b=6\Leftrightarrow b=\frac{1}{4}\)

Thay b = 1/4 vào giả thiết còn lại \(\frac{1+4b}{24}=\frac{1+6b}{6a}\Rightarrow\frac{1+1}{24}=\frac{1+\frac{3}{2}}{6a}\Leftrightarrow6a=30\Leftrightarrow a=5\)

Vậy a = 5 , b = 1/4

Đặt \(P\left(x\right)=2x^4+3x^3-9x^2-3x+2\)

Giả sử nhân tử của P(x) có dạng : \(P\left(x\right)=2\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+cx+d\right)=\left(x^2+ax+b\right)\left(2x^2+2cx+2d\right)\)

Khai triển : \(P\left(x\right)=2x^4+2cx^3+2dx^2+2ax^3+2acx^2+2adx+2bx^2+2bcx+2bd\)

\(=2x^4+x^3\left(2c+2a\right)+x^2\left(2d+2ac+2b\right)+x\left(2ad+2cb\right)+2bd\)

Dùng phương pháp hệ số bất định :

\(\Rightarrow\begin{cases}2a+2c=3\\2ac+2b+2d=-9\\2ad+2bc=-3\\bd=1\end{cases}\) . Giải ra được \(\begin{cases}a=-1\\b=-1\\c=\frac{5}{2}\\d=-1\end{cases}\)

Vậy \(P\left(x\right)=2\left(x^2-x-1\right)\left(x^2+\frac{5}{2}x-1\right)=\left(x^2-x-1\right)\left(2x^2+5x-2\right)\)

1/

a/ \(a^2\left(a+1\right)+2a\left(a+1\right)=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\)

Vì a(a+1)(a+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Mà (2,3) = 1 nên a(a+1)(a+2) chia hết cho 6. Ta có đpcm

b/ Đề sai , giả sử với a = 3

c/ \(x^2+2x+2=\left(x^2+2x+1\right)+1=\left(x+1\right)^2+1>0\)

d/ \(x^2-x+1=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

e/ \(-x^2+4x-5=-\left(x^2-4x+4\right)-1=-\left(x-2\right)^2-1< 0\)

2/ a/ \(x^2-6x+11=\left(x^2-6x+9\right)+2=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

BT đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại x = 3

b/ \(-x^2+6x-11=-\left(x^2-6x+9\right)-2=-\left(x-3\right)^2-2\le-2\)

BT đạt giá trị lớn nhất bằng -2 tại x = 3

Gọi các số cần tìm lần lượt là a,b,c (a,b,c \(\in N^{\text{*}}\))

Theo đề bài : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) . Nếu a > 3, b > 3 , c > 3 thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (vô lý) . Vậy trong ba số a,b,c tồn tại ít nhất một số không lớn hơn 3. Giả sử a là số bé nhất thì \(a\le3,a< b,a< c\) \(\Rightarrow1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=\frac{3}{a}\Rightarrow a\le3\)

Vì a là số tự nhiên nên a = 1 hoặc a = 2 hoặc a = 3

Nếu a = 1 thì \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) (vô lý)

Nếu a = 2 thì \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2b+2c=bc\Leftrightarrow b\left(2-c\right)-2\left(2-c\right)=-4\Leftrightarrow\left(b-2\right)\left(c-2\right)=4\)

Xét các trường hợp được (b;c) = (3;6) ;  (6;3) (chú ý loại các trường hợp b,c âm và b = c)

Nếu a = 3 thì \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{2}{3}\)

Làm tương tự như trên được (b;c) = (2;6) ; (6;2) (chú ý loại các trường hợp b,c âm và b = c)

Vậy : (a;b;c) = (2;3;6) và các hoán vị.

Thay các giá trị của \(x_A,y_A\) vào hàm số xem có khớp với hàm số không. Nếu có thì điểm A thuộc hàm số.

Tương tự với \(x_B,y_B;x_C,y_C;x_D,y_D\)

Kí hiệu như trên hình.

Ta có : \(AF^2+MF^2=AE^2+EM^2=AM^2\)

\(BD^2+MD^2=BF^2+MF^2=BM^2\)

\(ME^2+EC^2=MD^2+DC^2=MC^2\)

Cộng các đẳng thức trên theo vế 

\(\left(BD^2+CE^2+AF^2\right)+\left(MF^2+MD^2+ME^2\right)=\left(DC^2+EA^2+FB^2\right)+\left(EM^2+MF^2+MD^2\right)\)

\(\Rightarrow BD^2+CE^2+AF^2=DC^2+EA^2+FB^2\)

\(A=2017-\frac{1017}{999-x}\) (\(x\ne999\))

Ta xét các trường hợp : 

1. Với \(x\le998\) thì \(A\ge2017-\frac{1017}{999-998}=2017-1017=1000\)

2. Với \(x\ge1000\) thì \(A\le2017-\frac{1017}{999-1000}=3034\)

So sánh các trường hợp được Min A = 1000 khi x = 998

Gọi các số nguyên dương cần tìm là a,b,c,d (\(a,b,c,d>0\))

Giả thiết : \(a+b+c+d=abcdf\)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là số lớn nhất. Khi đó 

\(abcd=a+b+c+d\le4a\Rightarrow bcd\le4\)

Ta có \(4=1.1.4=2.2.1\) . Vì vai trò của b,c,d là như nhau , do đó ta chỉ cần chọn hai trường hợp là b = c = 1, d = 4 suy ra : a+2+4 = 4a => 3a = 6 => a = 2

Trường hợp còn lại : b = c = 2 , d = 1 suy ra a + 4 + 1 = 4a => a = 5/3(loại)

Vậy được các số cần tìm là 2,1,1,4

\(\frac{x}{9}-\frac{3}{y}=\frac{1}{18}\Leftrightarrow\frac{xy-27}{9y}=\frac{1}{18}\Leftrightarrow9y=18xy-486\)

\(\Leftrightarrow2xy-y=54\Leftrightarrow y\left(2x-1\right)=54\)

Xét các ước dương của 54 , mỗi ước tương ứng một giá trị của y , từ đó suy ra giá trị của x.