Ta có:

\(\dfrac{a.\left(x+z\right)}{abc}=\dfrac{b.\left(z+x\right)}{abc}=\dfrac{c.\left(x+y\right)}{abc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{y+z}{bc}=\dfrac{x+z}{ac}=\dfrac{x+y}{ab}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{y+z}{bc}=\dfrac{x+z}{ac}=\dfrac{x+y}{ab}=\dfrac{z+x-\left(y+z\right)}{ac-bc}=\dfrac{x-y}{c.\left(a-b\right)}\left(1\right)\)

\(\dfrac{y+z}{bc}=\dfrac{x+z}{ac}=\dfrac{x+y}{ab}=\dfrac{y+z-\left(x+y\right)}{bc-ab}=\dfrac{z-x}{b.\left(c-a\right)}\left(2\right)\)

\(\dfrac{y+z}{bc}=\dfrac{x+z}{ac}=\dfrac{x+y}{ab}=\dfrac{x+y-\left(z+x\right)}{ab-ac}=\dfrac{y-z}{a.\left(b-c\right)}\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) suy ra:

\(\dfrac{y-z}{a.\left(b-c\right)}=\dfrac{z-x}{b.\left(c-a\right)}=\dfrac{x-y}{c.\left(a-b\right)}\)

Đăng ít thôi.

4.

Ta có: \(x^2+y^2=\left(x-y\right)^2+2xy=\left(x-y\right)^2+2\)

\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2=\left(x-y\right)^4+4.\left(x-y\right)^2+4\)

Do BĐT cần cm tương đương với \(\left(x-y\right)^4+4.\left(x-y\right)^2\ge8.\left(x-y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^4-4.\left(x-y\right)^2+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x-y\right)^2-2\right]^2\ge0\)

BĐT cuối đúng.

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\) ( đpcm )

a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{9}=\dfrac{x-3y+4z}{4-3.3+4.9}=\dfrac{63}{31}=2\)

\(\Rightarrow x=8\)

\(\Rightarrow y=6\)

\(\Rightarrow z=18\)

b. c. Xem lại đề.

Gọi số dư chia cho 5 là n \(( 0 < n <5 )\)

Gọi d là số chia cho 5.

Ta có:

\(abcd=5k+n\) ( k thuộc N )

\(\Rightarrow abc.10+d=5k+n\)

\(\Rightarrow abc.2.5+d-n=0\)

\(\Rightarrow\left(abc.2.5-5k\right)+\left(d-n\right)=0\)

\(\Rightarrow d-n=0-\left(abc.2.5-5k\right)\)

\(\Rightarrow d-n=5k-abc.3.5\)

\(\Rightarrow d-n=5.\left(k-abcd\right)\) chia hết cho 5.

\(\Rightarrow d-n\) chia hết cho 5.

\(\Rightarrow d:5\) dư n.

Ta có: \(384=2^7.3\)

Tích của 4 số chẵn tự nhiên liên tiếp sẽ có dạng:

\(2^4.n.\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)\)

Ta cần chứng minh tích n:

\(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)\) chia hết cho \(2^3.3\) hay chia hết cho \(8\) và \(3\)( 2 số nt cùng nhau).

Ta có: \(a+b+c=1 \)

\(\Leftrightarrow(a+b+c)^2=1 \)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0 (1) \)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}=\dfrac{(x+y+z)}{\left(a+b+c\right)}=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow x=a\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow y=b.\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow z=c.\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=ab.\left(x+y+z\right)^2+bc.\left(x+y+z\right)^2+ca.\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=\left(ab+bc+ca\right).\left(x+y+z\right)^2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(xy+yz+zx=0\)