Ta có: \(384=2^7.3\)
Tích của 4 số chẵn tự nhiên liên tiếp sẽ có dạng:
\(2^4.n.\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)\)
Ta cần chứng minh tích n:
\(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)\) chia hết cho \(2^3.3\) hay chia hết cho \(8\) và \(3\)( 2 số nt cùng nhau).
Gọi 4 số chẵn tự nhiên liên tiếp là 2a; 2a +2 ; 2a +4; 2a+ 6.
Ta có : 2a.( 2a +2 ).( 2a +4).( 2a+ 6)
= 2a. 2(a +1 ). 2( a +2).2( a+ 3)
= \(2^4\). (a. (a+1) (a + 2) ( a + 3 ))
Vì a (a + 1 ) chia hết cho 2 ( tích 2 số TNLT) (1)
a. (a+1) (a + 2) chia hết cho 3 (tích 3 số TNLT) ( 2 )
a. (a+1) (a + 2) ( a + 3 ) chia hết cho 4 (tích 4 số TNLT) ( 3 )
Từ (1); (2) ; (3) suy ra :
a. (a+1) (a + 2) ( a + 3 ) chia hết cho 24
( vì 2 ; 3 ; 4 nguyên tố cùng nhau )
Mà \(2^4\) chia hết cho 16
Ta có: 16k . 24k = 384k chia hết cho 384
Vậy tích 4 số chẵn tự nhiên liên tiếp là số chia hết cho 384
