a) \(x^2-4=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\)

b) \(x^2+6x+9=25\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2=25\Leftrightarrow\left|x+3\right|=5\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=5\\x+3=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-8\end{matrix}\right.\)

c) \(x^2-4x+4=9\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=9\Leftrightarrow\left|x-2\right|=3\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=3\\x-2=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-1\end{matrix}\right.\)

d) \(x^3+x^2+x+1=0\Leftrightarrow x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=0\)

Vì \(x^2+1>0\forall x\in R\Rightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\)

e) \(\left(x-2\right)\left(3+4x\right)+\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(3+4x+x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(5x+1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\5x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

f) \(4x^2-9+\left(2x-3\right)\left(4-x\right)=0\Leftrightarrow\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)+\left(2x-3\right)\left(4-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right)\left(2x+3+4-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right)\left(x+7\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-3=0\\x+7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{2}\\x=-7\end{matrix}\right.\)

a) Xét \(\Delta ABC\) có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm AC

\(\rightarrow\) MN là đường trung bình

\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\cdot8=4\left(cm\right)\)

b) Vì MN là đường trung bình \(\Delta\) ABC (theo a)

\(\rightarrow\) MN//BC và \(MN=\dfrac{1}{2}BC\)

mà P là trung điểm BC\(\rightarrow BP=\dfrac{1}{2}BC\) \(\rightarrow\) MN//BP và MN=BP 

\(\Rightarrow\)BMNP là hình bình hành (đpcm)

c) Xét hbh BMNP có:

MP và BN là 2 đường chéo \(\rightarrow\) MP và BN cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (T/c hbh) 

mà O là trung điểm MP \(\rightarrow\) O cũng là trung điểm BN

\(\Rightarrow\) B đối xứng N qua O (đpcm)

4b)

\(\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}-2}=\dfrac{2\left[\left(\sqrt[3]{4}\right)^2+2\sqrt[3]{4}+2^2\right]}{\left(\sqrt[3]{4}-2\right)\left[\left(\sqrt[3]{4}^2+2\sqrt[3]{4}+2^2\right)\right]}=\dfrac{2\left(2\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{4}+4\right)}{-4}=\dfrac{-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}-2}{1}\)

5)

Ta có: Thể tích bể kính hình lập phương cũ là: \(V_c=5^3=125\left(dm^3\right)\)

Thể tích bể kính mới là: \(V_m=8\cdot V_c=8\cdot125=1000\left(dm^3\right)\)

Vì bể mới là hình lập phương nên độ dài bể mới là: \(\sqrt[3]{1000}=10\left(dm\right)\)

b) Ta có: \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{DAE}\) là 2 góc đối đỉnh

\(\rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{DAE}\)

\(\rightarrow\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{DAE}\)

mà AI, AJ là phân giác \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{DAE}\)

\(\rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{DAJ}\)

lại có: B,A,D thẳng hàng ( D nằm trên tia đối AB)

\(\Rightarrow\) I,A,J thẳng hàng (đpcm)

Gọi A là điểm hai lực F1 và F2 tác động vào, B là ngọn của vecto F1, C là ngọn của vecto F2, D là đỉnh còn lại của hbh ABDC

Dựng hbh ABDC, ta có: \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{F_1}\right|=3\); \(\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=2\) 

\(\rightarrow\) AB=CD=3; AC=BD=2

\(\widehat{BAC}=120^o\)

\(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\) (Quy tắc hbh)

\(\rightarrow\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD\)

Xét \(\Delta ABD\) có:

\(AD^2=AB^2+BD^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot cosABD\)

mà \(\widehat{ABD}=180^o-\widehat{BAC}\) (BD//AC)

\(\Rightarrow AD^2=AB^2+BD^2+2\cdot AB\cdot BD\cdot cosBAC\)

\(AD=\sqrt{3^2+2^2+2\cdot3\cdot2\cdot cos120^o}=\sqrt{7}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\sqrt{7}\left(N\right)\)

a) 

Xét hbh ABCD có:

\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\) (Quy tắc hình bình hành)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC\) (đpcm)

b) 

Ta có: \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DB}\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=BD\)

lại có: \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC\)

\(\Rightarrow\) Nếu \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}\right|\) thì AC = BD

mà ABCD là hbh

\(\Rightarrow\) ABCD là hcn (đpcm)

Ta có: \(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}\) ; \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}\) (đpcm)

Vì \(\Delta\)ABC cân tại A \(\rightarrow AB=AC;\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta AKC\) có:

\(\widehat{A}\) chung

AH=AK (gt)

AB=AC

\(\rightarrow\Delta AHB=\Delta AKC\left(cgc\right)\)

\(\rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\) (2 góc tương ứng)

Ta có: \(\widehat{ABC}=\widehat{OBC}+\widehat{ABH}\); \(\widehat{ACB}=\widehat{OCB}+\widehat{ACK}\)

\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}\rightarrow\widehat{OBC}+\widehat{ABH}=\widehat{OCB}+\widehat{ACK}\)

mà \(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

\(\rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

\(\Rightarrow\Delta OBC\) cân tại O (đpcm)