【Giải thích】:
a) Tứ giác ABQN có:
HN là đường cao của △ADN nên AN ⊥ DN tại N. (1)
BQ là đường cao của △BDN nên BN ⊥ DQ tại Q. (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra AN//BQ và AN = BQ. (3)
Tứ giác ABQN có 3 góc vuông tại A, N và Q.
Từ (3) kết hợp với việc có 3 góc vuông, ABQN là hình chữ nhật.
b) Qua điểm N kẻ đường thẳng song song với HA cắt AB tại P. Kết quả HN // AP và HN = AP (HN = AP = HD mà HD = HA).
Vì HN // AP và IN là trung trực của MP (do I là trung điểm CM), suy ra I là trung điểm của NP (BĐT Ơ-clit), điều này chứng tỏ NA = NP. Đây cũng là tứ giác nội tiếp vượt qua giai thoại N (tính chất của dãy điểm điều hòa). A, N, I và P thẳng hàng.
Khi đó tam giác CPI đồng dạng sang tam giác DAP (g.c.g: ∠API = ∠DPA và AD = AC), do đó:
∠ACP = ∠PDA.
AP ⊥ IDbởi hình chữ nhật ABQN → ∠ACP = 90°.
Vậy ∠PDA cũng bằng 90°. Tức là AD ⊥ CP hay AM ⊥ CD.
HN vào trung tuyến của tam giác vuông ADB nên HN = 1/2 AB. Tì đó HN là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó góc A = 90°. Do I là trung điểm của MP và AMI là phần của trục đối xứng thì MA ⊥ PI hay INH = 90°.
c) Ta có HB × HC bằng bình phương độ dài đường cao của tam giác ABC (nguyên tắc theo độ dài đối xứng khi phản xạ ánh sáng có góc nhìn chung là 90°, đối với hình ảnh chính giữa của ống dẫn như là gương). De đích chính, ABC là tam giác vuông tại A,
chúng ta có BH × HC = AH^2. Chứng minh được.
【Câu trả lời】:
a) Tứ giác ABQN là hình chữ nhật.
b) AM ⊥ CD và ∠INH = 90°.
c) HA = √(HB × HC).