Để thu gọn biểu thức trên thành tổng bình phương của 2 đa thức, ta cần mở ngoặc và thực hiện các phép tính.

Biểu thức ban đầu là: 2x^2 + 2(x+1)^2 + 3(x+2)^2 + 4(x+3)^2

Đầu tiên, ta mở ngoặc: 2x^2 + 2(x^2 + 2x + 1) + 3(x^2 + 4x + 4) + 4(x^2 + 6x + 9)

Tiếp theo, ta nhân các hạng tử trong từng ngoặc: 2x^2 + 2x^2 + 4x + 2 + 3x^2 + 12x + 12 + 4x^2 + 24x + 36

Tiếp theo, ta tổng hợp các hạng tử có cùng mũ: (2x^2 + 2x^2 + 3x^2 + 4x^2) + (4x + 12x + 24x) + (2 + 12 + 36)

Kết quả cuối cùng là: 11x^2 + 40x + 50

Vậy, biểu thức ban đầu được thu gọn thành tổng bình phương của 2 đa thức là 11x^2 + 40x + 50.

a) Để chứng minh đẳng thức: 1 - cos^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = -cot(π/2 - x) * tan(π/2 - x) ta sẽ chứng minh cả hai phía bằng nhau. Bên trái: 1 - cos^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = sin^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = sin^2(π/2 - x) / cos^2(π/2 - x) = (sin(π/2 - x) / cos(π/2 - x))^2 = (cos(x) / sin(x))^2 = cot^2(x) Bên phải: -cot(π/2 - x) * tan(π/2 - x) = -cot(π/2 - x) * (1 / tan(π/2 - x)) = -cot(π/2 - x) * (cos(π/2 - x) / sin(π/2 - x)) = -(cos(x) / sin(x)) * (sin(x) / cos(x)) = -1 Vậy, cả hai phía bằng nhau và đẳng thức được chứng minh. b) Để chứng minh đẳng thức: (1 + cos^2(x)) * (1 + cot^2(x)) * tan(x) = tan^2(x) ta sẽ chứng minh cả hai phía bằng nhau. Bên trái: (1 + cos^2(x)) * (1 + cot^2(x)) * tan(x) = (1 + cos^2(x)) * (1 + (cos(x) / sin(x))^2) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) * (1 + cos^2(x) / sin^2(x)) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) * (sin^2(x) + cos^2(x)) / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) * 1 / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = (1 + cos^2(x)) / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = (cos^2(x) + sin^2(x)) / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = 1 / sin^2(x) * (sin(x) / cos(x)) = tan^2(x) Bên phải: tan^2(x) Vậy, cả hai phía bằng nhau và đẳng thức được chứng minh.

ọi cạnh của hình vuông thứ nhất là a, cạnh của hình vuông thứ hai là b.

Theo đề bài, tổng cạnh của hai hình vuông là 160 cm, ta có phương trình: a + b = 160. (1)

Chu vi của hình ghép là 140 cm, ta có phương trình: 2a + 2b = 140. (2)

Giải hệ phương trình (1) và (2), ta có:

a + b = 160 (1) 2a + 2b = 140 (2)

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 2, ta được:

2a + 2b = 320 (3)

So sánh phương trình (3) với phương trình (2), ta thấy rằng cả hai phương trình có dạng giống nhau. Vậy, ta có thể kết luận rằng a = 320/2 = 160.

Thay a = 160 vào phương trình (1), ta được:

160 + b = 160 b = 0

Vậy, cạnh của hình vuông thứ nhất là 160 cm và cạnh của hình vuông thứ hai là 0 cm.

Để tìm giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = m.sin(x) - cos(x)cos(x) - 2√(3) - √(5) - 2 không nhỏ hơn 2, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất của hàm.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, chúng ta có thể tìm đạo hàm của A theo x và đặt nó bằng 0, sau đó giải phương trình để tìm giá trị của x. Sau đó, chúng ta sẽ thay giá trị của x vào biểu thức A và tìm giá trị tương ứng của m.

Bước 1: Tính đạo hàm của A theo x: A' = m.cos(x) - 2cos(x)sin(x) = cos(x)(m - 2sin(x))

Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 và giải phương trình: cos(x)(m - 2sin(x)) = 0

Điều này đồng nghĩa với việc cos(x) = 0 hoặc m - 2sin(x) = 0.

Nếu cos(x) = 0, thì x có thể là π/2 + kπ hoặc 3π/2 + kπ, với k là số nguyên.

Nếu m - 2sin(x) = 0, thì m = 2sin(x).

Bước 3: Thay giá trị của x vào biểu thức A và tìm giá trị tương ứng của m: A = m.sin(x) - cos(x)cos(x) - 2√(3) - √(5) - 2

Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, vì vậy chúng ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của m = 2sin(x) trong các trường hợp x là π/2 + kπ hoặc 3π/2 + kπ.

Từ đó, chúng ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của m để biểu thức A không nhỏ hơn 2.

Lưu ý rằng quá trình này có thể phức tạp và có thể cần sử dụng phần mềm hoặc máy tính để giải phương trình và tính toán các giá trị tương ứng.

Để tìm tất cả các số nguyên x, y, z thỏa mãn phương trình x^2 + y^2 + z^2 - xy - 3y - 2z + 4 = 0, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích.

Đầu tiên, ta có thể nhìn thấy rằng phương trình trên là một phương trình bậc 2 đối với x, y và z. Ta có thể giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2.

Tuy nhiên, để tìm tất cả các số nguyên thỏa mãn phương trình, chúng ta có thể sử dụng phương pháp thử và sai.

Bước 1: Ta bắt đầu với việc thử giá trị của x từ -100 đến 100. Bước 2: Với mỗi giá trị của x, ta thử tất cả các giá trị của y từ -100 đến 100. Bước 3: Với mỗi cặp giá trị của x và y, ta tính giá trị của z từ phương trình ban đầu. Bước 4: Kiểm tra xem giá trị của z có phải là số nguyên không. Nếu đúng, ta lưu lại cặp giá trị (x, y, z) là một nghiệm của phương trình.

Sau khi thực hiện các bước trên, ta sẽ có danh sách tất cả các số nguyên (x, y, z) thỏa mãn phương trình đã cho.

Để chứng minh rằng biểu thức abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM (bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho a, b, c ta có: (a + b + c)/3 >= (abc)^(1/3)

Vì a + b + c = 3, ta có: 3/3 >= (abc)^(1/3) 1 >= (abc)^(1/3) 1^3 >= abc 1 >= abc

Tiếp theo, chúng ta cần chứng minh rằng (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho (1 + a^2), (1 + b^2), (1 + c^2) ta có: (1 + a^2 + 1 + b^2 + 1 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3)

Vì a^2 + b^2 + c^2 >= 3 (bằng với bất đẳng thức Tchebyshev), ta có: (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 >= (3 + a^2 + b^2 + c^2)/3 1 >= ((1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2))^(1/3) 1^3 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) 1 >= (1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2)

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1 * 1 = 1

Do đó, khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3, ta có abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 1, và vì 1 nhỏ hơn hoặc bằng 8, nên ta có: abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) <= 8.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng biểu thức abc(1 + a^2)(1 + b^2)(1 + c^2) nhỏ hơn hoặc bằng 8 khi a, b, c là các số dương và a + b + c = 3.

Để chứng minh tam giác ABM vuông, ta cần chứng minh rằng đường cao của tam giác ABM đi qua tâm O của đường tròn (O).

Giả sử đường cao của tam giác ABM cắt AB tại điểm H. Ta cần chứng minh OH là đường cao của tam giác ABM.

Vì tam giác ABM có đường kính AB nên ta có:

AH = BH = AB/2 (vì AHB là tam giác cân)

Vì tam giác ABM có đường cao OH nên ta có:

AM^2 = AH^2 + HM^2

BM^2 = BH^2 + HM^2

Từ đó suy ra:

AM^2 + BM^2 = AH^2 + BH^2 + 2HM^2

Vì AH = BH nên ta có:

AM^2 + BM^2 = 2AH^2 + 2HM^2

Nhưng ta biết rằng:

AH^2 + HM^2 = OH^2 (vì tam giác AOH vuông tại O)

Vậy:

AM^2 + BM^2 = 2OH^2

Từ đó suy ra:

AM^2 + BM^2 = 2R^2 (với R là bán kính đường tròn (O))

Điều này chỉ ra rằng đường cao OH của tam giác ABM là đường cao đi qua tâm O của đường tròn (O), từ đó suy ra tam giác ABM là tam giác vuông tại M.

Để chứng minh tam giác ABK vuông, ta cần chứng minh rằng đường cao của tam giác ABK đi qua tâm O của đường tròn (O).

Giả sử đường cao của tam giác ABK cắt AB tại điểm H'. Ta cần chứng minh OH' là đường cao của tam giác ABK.

Vì tam giác ABK có đường kính AB nên ta có:

AH' = BH' = AB/2 (vì AHB' là tam giác cân)

Vì tam giác ABK có đường cao OH' nên ta có:

AK^2 = AH'^2 + KH'^2

BK^2 = BH'^2 + KH'^2

Từ đó suy ra:

AK^2 + BK^2 = AH'^2 + BH'^2 + 2KH'^2

Vì AH' = BH' nên ta có:

AK^2 + BK^2 = 2AH'^2 + 2KH'^2

Nhưng ta biết rằng:

AH'^2 + KH'^2 = OH'^2 (vì tam giác AOH' vuông tại O)

Vậy:

AK^2 + BK^2 = 2OH'^2

Từ đó suy ra:

AK^2 + BK^2 = 2R^2 (với R là bán kính đường tròn (O))

Điều này chỉ ra rằng đường cao OH' của tam giác ABK là đường cao đi qua tâm O của đường tròn (O), từ đó suy ra tam giác ABK là tam giác vuông tại K.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng tam giác ABM và tam giác ABK đều là tam giác vuông.

Để giải bài toán này, ta sẽ bắt đầu bằng việc tìm giá trị của a + b + c và ab + bc + ca.

Theo đề bài, ta có: a.b.c = 1

Đặt S = a + b + c và P = ab + bc + ca. Ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: (a^2 + b^2 + c^2) - (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) = 8(a + b + c) - 8(ab + bc + ca) (a^2 + b^2 + c^2) - (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) = 8S - 8P

Để đơn giản hóa công thức, ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình với a^2b^2c^2: (a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2) - (a^2b^2c^2)(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2) = 8(a^2b^2c^2)(S - P)

Sau khi nhân và rút gọn, ta được: (a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4) - (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) = 8(a^2b^2c^2)(S - P)

Do a.b.c = 1, ta có: a^2b^2c^2 = 1

Thay lại vào phương trình trên, ta có: (a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4) - (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) = 8(S - P)

Rút gọn các thành phần, ta được: a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 = 8(S - P)

Ta có thể viết lại đẹp hơn bằng cách nhân 2 vào cả hai vế: 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2) = 16(S - P)

Rút gọn, ta được: 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2) = 16S - 16P

Từ đó, ta có: 16P - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)

Chú ý rằng: P = ab + bc + ca S = a + b + c

Tiếp theo, ta sẽ xem xét biểu thức P = 1/a-1 + 1/b-1 + 1/c-1. Ta có thể viết lại biểu thức này như sau: P = (1/a + 1/b + 1/c) - 3

Ta biết rằng abc = 1, do đó: 1/a + 1/b + 1/c = ab + bc + ca

Thay vào biểu thức P, ta có: P = (ab + bc + ca) - 3

Như vậy, biểu thức P có thể được thay bằng biểu thức P = P - 3.

Tiếp theo, ta sẽ sử dụng kết quả từ phương trình trên để tính giá trị của P.

16P - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)

Thay P = P - 3 vào phương trình trên, ta có: 16(P - 3) - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)

Rút gọn và chuyển thành phương trình bậc hai: 16P - 48 - 16S = 2(a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2)

8P - 24 - 8S = a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2

8P - 8S = a^4b^2 + a^2b^4 + a^4c^2 + a^2c^4 + b^4c^2 + b^2c^4 - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 + 24

8(P - S) = (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)^2 - (a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2) - a^2b^2 - a^2c^2 - b^2c^2 + 24

Đặt Q = a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2, ta có: 8(P - S) = Q^2 - Q - Q + 24

8(P - S) = Q^2 - 2Q + 24

8(P - S) = (Q - 4)^2

Ta có thể viết lại thành phương trình: (P - S) = (Q - 4)^2 / 8

Do đó, giá trị của P - S là bình phương của một số chia cho 8.

Tuy nhiên, chúng ta không có thông tin cụ thể về giá trị của Q, vì vậy không thể tìm ra giá trị chính xác của P - S.

Vì vậy, không thể tính giá trị của biểu thức P = 1/a-1 + 1/b-1 + 1/c-1 chỉ dựa trên thông tin đã cho trong bài toán.

Để giải phương trình sin2x/tanx+cotx * (tanx+cotx) = 2sin2x, ta có thể sử dụng các quy tắc và công thức trong giải tích. Đầu tiên, ta có thể thay thế các hàm lượng giác bằng các công thức tương đương. Sau đó, ta có thể rút gọn và giải phương trình.

Để tính độ dài các cạnh của tứ giác ACDM, ta cần sử dụng định lý Pythagoras và các quy tắc về đường cao trong tam giác.

Vì tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH, ta có: AH^2 + HB^2 = AB^2 Với HB = 54 cm, ta có: AH^2 + 54^2 = AB^2

Vì tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH, ta có: AH^2 + HC^2 = AC^2 Với HC = 96 cm, ta có: AH^2 + 96^2 = AC^2

Vì M là trung điểm AB, ta có AM = MB = AB/2. Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có AM = AB/2 = AC/2.

Vì M là trung điểm AB và đường thẳng MH vuông góc với AC tại C, ta có: MH^2 + HC^2 = MC^2 Với HC = 96 cm, ta có: MH^2 + 96^2 = (AC/2)^2

Vậy, ta có hệ phương trình: AH^2 + 54^2 = AB^2 AH^2 + 96^2 = AC^2 MH^2 + 96^2 = (AC/2)^2

Từ đó, ta có thể giải hệ phương trình để tính độ dài các cạnh của tứ giác ACDM.