a) Ta có thể chứng minh ΔAOP = ΔBOR bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc AOP và góc BOR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc OPA = góc ORB (do OP và OR là hai cạnh của hình vuông OPRQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có ΔAOP = ΔBOR.

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD, nên ta có OP = OR = OS = OQ.

c) Ta cũng có thể chứng minh PRSQ là hình vuông bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc PQR và góc PSR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc QPR = góc RPS (do PQ và RS là hai cạnh của hình vuông PRSQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có PRSQ là hình vuông.

Vậy, ΔAOP = ΔBOR, OP = OR = OS = OQ và PRSQ là hình vuông.

Để tính độ dài cạnh BC của tam giác ABC, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras và các tính chất của tam giác cân.

Vì tam giác ABC cân tại A, ta có AH = HC. Vì vậy, ta có HA = HC = 32 cm.

Ta biết HD = 4 cm. Vì tam giác ABC cân, ta có AD là đường cao từ A xuống BC. Vì vậy, ta cũng có HD = AD.

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác AHD, ta có:

AH^2 = AD^2 + HD^2 32^2 = AD^2 + 4^2 1024 = AD^2 + 16 AD^2 = 1024 - 16 AD^2 = 1008 AD = √1008

Vậy, độ dài cạnh BC của tam giác ABC là 2 * AD = 2 * √1008 = 2 * 4√63 = 8√63 cm.

Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng phương pháp Chứng minh bằng Quy nạp (Mathematical Induction). Bước 1: Ta chứng minh bất đẳng thức này đúng với trường hợp a, b, c không giống nhau. - Giả sử a = b. Khi đó, a = b = (3 - 2a) / 2. Thầy vào bất đẳng thức cần chứng minh, ta có: abc(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = a^2c(1+a^2)^2(1+c^2) Đặt x = a^2, y = c. Ta cần chứng minh: xy(1+x)^2(1+y^2) ≤ 8 Từ điều kiện a + b + c = 3, ta có: a + b = 3 - c ab = (a + b) ^2 - (a^2 + b^2) = (3 - c)^2 - (a^2 + b^2) = (3 - c)^2 - (3 - 2c) = c^2 - 3c + 6 Because a and b are test of method t^2 - (3 - c)t + (c^2 - 3c + 6) = 0 thuộc các nguyên nên theo Định lí Viết a^2 + b^2 = (3 - c)c^2 - 3(c^2 - 3c + 6) = -2c^3 + 9c^2 - 9c + 18 Ta lại có abc = ac(3 - a - c) = c(3c^2 - ac - c^2) = c(-2c^3 + 9c^2 - 9c) Nên bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: (x*3)^2(1 + x)(1 + y) ≤ 8 Hay (x*3)^2(1 + x)(1 + y) ≤ 8 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM hai lần, ta có: (x*3)^2 (1 + x)(1 + y) ≤ [(x*3)^2 + (1 + x) + (1 + y)] / 3 = [9x^2 + 2x + 2 + y] / 3 = ( 9x^2 + 2x + 2 + y) / 3 = (9x^2 + y^2 + 2x + 2) / 3 Tiếp tục áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta được: (9x^2 + y^2 + 2x + 2)/3 ≥ 4√[(9x^2)(y^2)(2x)(2)] = 4√[36x^3y^2] = 24xy√x Khi đó, ta cần chứng minh: 24xy√x ≤ 8 <=> 3xy√x ≤ 1 <=> 27x^3y^2 ≤ 1 Từ a + b + c = 3, ta có: (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^ 2 + c^2a + ca^2) + 6abc Thầy a + b + c = 3 và abc = ac(3 - a - c) = c(3c^2 - ac - c^2) = c(-2c^ 3 + 9c^2 - 9c), ta có: 27x^3y^2 ≤ 1 Vì vậy, ta đã chứng minh được khi a=b, bất đẳng thức cần chứng minh là đúng. Bước 2: Giả sử a, b, c không giống nhau. Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này đúng với

Để hàm số y xác định trên R, ta cần xác định điều kiện để biểu thức trong dấu căn không âm: 1/ y = √(cos^2x + cosx - 2m + 1) Điều kiện: cos^2x + cosx - 2m + 1 ≥ 0 - Để giải bất phương trình này, ta cần tìm giá trị của m sao cho đa thức bậc 2: f(x) = cos^2x + cosx - 2m + 1 không có nghiệm trong khoảng [-∞ , +∞]. - Để f(x) không có nghiệm, ta cần xét delta của đa thức: Δ = b^2 - 4ac = 1 - 4(1)(-2m + 1) = 8m - 3 - Để f(x) không có nghiệm, ta cần Δ < 0: 8m - 3 < 0 => m < 3/8 Do đó, hàm số y = √(cos^2x + cosx - 2m + 1) xác định trên R khi m < 3/8. 2/ y = √(cos^2x - 2cosx + m) Điều kiện: cos^2x - 2cosx + m ≥ 0 - Để giải được bất phương trình này, ta cần tìm giá trị của m sao cho đa thức bậc 2: f(x) = cos^2x - 2cosx + m không có nghiệm trong khoảng [-∞, +∞]. - Để f(x) không có nghiệm, ta cần xét delta của đa thức: Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m = 4(1 - m) ) - Để f(x) không có nghiệm, ta cần Δ < 0: 1 - m < 0 => m > 1 Do đó, hàm số y = √(cos^2x - 2cosx + m) xác định trên R khi m > 1. 3/ y = √(sin^4x + cos^4x - sin^2x - m) Điều kiện: sin^4x + cos^4x - sin^2x - m ≥ 0 - Để giải được bất phương trình này, ta cần tìm giá trị của m sao cho đa thức bậc 4: f(x) = sin^4x + cos^4x - sin^2x - m không có nghiệm trong khoảng [-∞, +∞]. - Để f(x) không có nghiệm, ta cần xét delta của đa thức: Δ = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-m) = 1 + 4m - Để f(x) ) không có nghiệm, ta cần Δ < 0: 4m < -1 => m < -1/4 Do đó, hàm số y = √(sin^4x + cos^4x - sin^2x - m) xác định trên R khi m < -1/4.

a) Để chứng minh tam giác ABD = tam giác ACD, ta cần chứng minh hai tam giác có cạnh và góc bằng nhau. - Biết AB = AC (đề bài). - Ta có DB là đường cao của tam giác ABD và DC là đường cao của tam giác ACD. Theo định nghĩa, đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ các góc vuông góc dưới đến đáy tương ứng. - Vì AB = AC và BD ⊥ AB, CD ⊥ AC nên ta có DB = DC (hai đường cao cùng thuộc tam giác cân). => Tam giác ABD = tam giác ACD (theo nguyên lý tỷ lệ cận). b) Để chứng minh AD là tia phân giác của góc A, ta cần chứng minh rằng góc BAD = góc CAD. - Ta đã chứng minh được tam giác ABD = tam giác ACD (bài a). - Vì hai tam giác cân bằng nhau nên góc BAD = góc CAD (theo tính chất của tam giác cân). => AD là tia phân giác của góc A. c) Để chứng minh AD ⊥ AC, ta cần chứng minh góc ADB + góc ADC = 90°. - Ta đã chứng minh được tam giác ABD = tam giác ACD (bài a). - Vì hai tam giác cân bằng nhau nên góc ADB = góc ADC (theo tính chất của tam giác cân). - Góc ADB + góc ADC = 2 * góc ADB (do góc ADB = góc ADC). - Vì tam giác ABD là tam giác vuông nên góc ADB = 90° / 2 = 45°. - Do đó góc ADB + góc ADC = 45° + 45° = 90°. => AD ⊥ AC (theo tính chất của góc vuông). Vì vậy, ta đã chứng minh a), b), c).

A. 331+29+69 = 429 B. 29.8+50.2+31.8+37.41 = 149.21 C. 135+360+65+40 = 600 D. 63.28+63.82+37.69 = 164.79 E. 39.8+60.2+8.21 = 108.21 F .102-96+90-84+78-72+66-60+54-48 = -10 G. 99-97+95-93+91+89+....+7‐5+3-1 = 0 (Dãy số này có tính chất cộng gộp, vì từ số 99 đến số 7, các số chẵn và lẻ liên tiếp sẽ tương đương 0 khi cộng tổng)

Để chứng minh rằng tam giác AHB = tam giác AHC và AH là tia phân giác của góc BAC, chúng ta cần sử dụng các định lý và quy tắc trong hình học. Để bắt đầu, ta đã biết: - H là trung điểm của đoạn thẳng BC - Đường thẳng d là đường thẳng góc với BC Vì H là trung điểm của BC nên ta có: AH = BH = HC (để chứng minh, chỉ cần sử dụng quy tắc về trung điểm) Giả sử ta kẻ đường thẳng HE đi qua H và góc với AB. Khi đó, ta có: - HE = HC (do AHB và AHC là tam giác cân) - AHE = 90 độ (do đường thẳng góc với AB) Từ đó, ta suy ra: - Tam giác AHB = tam giác HEB ( do cận AH = cận DH và cận BH = cận EH) - Tam giác AHC = tam giác HEC (do cận AH = cận CH và cận HC = cận EC) Vậy tam giác AHB = tam giác AHC. Ngoài ra, vì cạnh AH = cạnh HC nên AH là tia phân giác của góc BAC. Do đó, ta đã chứng minh được rằng tam giác AHB = tam giác AHC và AH là tia phân giác của góc BAC.

Để tính chiều rộng AB của đường sông, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC. Thông tin đã chọn: - BC vuông góc BA - CD vuông góc BC - M là trung điểm của BC - CD = 83 m Gọi AB là chiều rộng cần tìm. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có: AB^2 = BC^2 + AC^2 Tuy nhiên, chúng ta chưa có thông tin về chiều dài BC hoặc AC, nên không thể tính toán chính xác giá trị của AB only based on used to be used. Nếu bạn có thông tin bổ sung về chiều dài BC hoặc AC, vui lòng cung cấp thêm để chúng tôi có thể tính toán chiều rộng AB của khúc sông.

Để tính toán độ dài các cạnh của tứ giác ACDM, chúng ta cần áp dụng các định lý trong hình học tam giác và tứ giác. Với tam giác ABC vuông tại A, ta có: - Đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác AHM và AHB. - Vì M là trung điểm AB nên AM = MB = 1/2 AB. - Đường thẳng MH là đường vuông góc với AC tại C. Thông tin đã chọn: - HB = 54cm - HC = 96cm Ta sẽ tính độ dài còn lại: a) Tính độ dài AC: Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông góc AHC: AC^2 = AH^2 + HC^2 AC^2 = (AH^2 + HB^2) + HC^2 (vì AH = AM + MH) AC = √(AH^2 + HB^2 + HC^2) AC = √(54^2 + 96^2) b) Tính độ dài DM: Vì M là trung điểm AB nên ta có DM = 1/2 AB = 1/2 AC. c) Tính độ dài AD: Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHM: AH^2 = AM^2 + HM^2 AH^2 = (AM^2) + (HM^2) AH = √(AM^ 2 + HM^2) AH = √((1/2 AB)^2 + HB^2) d) Tính độ dài CM: Vì M là trung điểm AB nên CM = 1/2 AC. Kết quả: Từ các tính toán trên, chúng ta có được độ dài các cạnh của tứ giác ACDM.

Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các định lý trong hình học tam giác. a/ Để tính HB và HC, ta cần tìm độ dài đường cao AH trước. Với thông tin AH.AC = 3.5 và AC = 15cm, ta có thể tính được AH: AH = (AH.AC)/AC = (3.5)/(15) = 0.2333 cm Tiếp theo, ta xét tam giác ABC với tam giác ABC. góc B và đường cao AH. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có công thức: AB^2 = AH^2 + BH^2 Với độ dài AB = 15cm, ta có: 15^2 = 0,2333^2 + BH^2 225 = 0,0544 + BH^2 BH^2 = 224,9456 BH ≈ 14,998 cm Tương tự, ta có: HC ≈ 0,2333 cm Vậy HB ≈ 14,998 cm và HC ≈ 0,2333 cm. b/ Để chứng minh AH^3 = BC.BE.CF, ta sẽ sử dụng các tỷ lệ trong tam giác tương đồng. Kiểm định tam giác AHB và tam giác AFC, ta có: AH/AF = HB/FC 0.2333/AF = 14.998/(15 - FC) Tương tự, xét tam giác AHC và tam giác AEB, ta có: AH/AE = HC/EB 0.2333/AE = 0.2333/(15 - EB ) Từ hai tỷ lệ trên, ta có: AF/(15 - FC) = AE/(15 - EB) Nhân cả hai quan sát với (15 - FC)(15 - EB), ta có: AF(15 - EB) = AE(15 - FC) Vậy ta có BC.BE.CF = AF(15 - EB) = AE(15 - FC) = AH^2. Do đó, AH^3 = BC.BE.CF.