Toán

Sigma
Sigma CTV 5 giờ trước (22:57)

Ta thấy nếu p, q cùng lẻ thì r chẵn. Mà r là số nguyên tố nên r = 2 (vô lí).

Do đó p = 2 hoặc q = 2 (Do p, q là các số nguyên tố).

Không mất tính tổng quát, giả sử p = 2.

Giả sử n lớn hơn 1.

Ta có \(r^2=2^n+q^n=\left(2+q\right).A\) với \(A=2^{n-1}+2^{n-2}q+...+q^{n-1}\).

Rõ ràng A lớn hơn 1. Do đó 2 + q = r. Dễ thấy q lẻ.

Suy ra \(\left(2+q\right)^2=2^n+q^n\).

Với n = 2 ta có 4q = 0, vô lí.

Với n > 2 ta có bất đẳng thức \(2^n+q^n\ge2^3+q^3\ge\dfrac{\left(2+q\right)^3}{4}>\left(2+q\right)^2\) (vô lí).

Do đó giả sử trên là sai.

Vậy n = 1.

 

 

Bình luận (0)
Sigma
Sigma CTV 5 giờ trước (22:35)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM: \(1+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{1.a^3.b^3}=3ab\).

Bình luận (0)
Sigma
Sigma CTV 5 giờ trước (22:47)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\(\left(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\right)+\left(\dfrac{b^2+c^2}{b+c}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\right)+\left(\dfrac{c^2+a^2}{c+a}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2c+b^2c-c^2a-bc^2}{\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{b^2a+c^2a-a^2b-ca^2}{\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)}+\dfrac{c^2b+a^2b-b^2c-ab^2}{\left(c+a\right)\left(a+b+c\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{ac\left(a-c\right)+bc\left(b-c\right)}{a+b}+\dfrac{ba\left(b-a\right)+ca\left(c-a\right)}{b+c}+\dfrac{cb\left(c-b\right)+ab\left(a-b\right)}{c+a}\le0\) (1).

Không mất tính tổng quát giả sử \(a\geq b\geq c\).

Ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{c+a}\\ac\left(a-c\right)+bc\left(b-c\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{ac\left(a-c\right)+bc\left(b-c\right)}{a+b}\le\dfrac{ac\left(a-c\right)+bc\left(b-c\right)}{c+a}\);

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{1}{c+a}\\ba\left(b-a\right)+ca\left(c-a\right)\le0\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{ba\left(b-a\right)+ca\left(c-a\right)}{b+c}\le\dfrac{ba\left(b-a\right)+ca\left(c-a\right)}{c+a}\).

Từ đó: \(\Leftrightarrow\dfrac{ac\left(a-c\right)+bc\left(b-c\right)}{a+b}+\dfrac{ba\left(b-a\right)+ca\left(c-a\right)}{b+c}+\dfrac{cb\left(c-b\right)+ab\left(a-b\right)}{c+a}\le\dfrac{ac\left(a-c\right)+bc\left(b-c\right)+ba\left(b-a\right)+ca\left(c-a\right)+cb\left(c-b\right)+ab\left(a-b\right)}{c+a}=0\).

Do đó (1) đúng hay bđt ban đầu cũng đúng. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

Bình luận (0)
Sigma
Sigma CTV 5 giờ trước (23:07)

BĐT trên bị ngược dấu rồi.

Theo công thức Heron:

\(S=\dfrac{1}{4}\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\).

Do đó ta chỉ cần cm:

\(\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\leq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\). (1)

Ta có \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(a^2-b^2\right)^2}{2}+\dfrac{\left(b^2-c^2\right)^2}{2}+\dfrac{\left(c^2-a^2\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng).

Do đó bđt ban đầu cũng đúng.

Đẳng thức xảy ra khi tam giác đó đều.

Bình luận (0)
Loading...