Hỏi đáp Toán lớp 8

Áp dụng bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\) ta có:

\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ca\right)^2\ge ab.bc+bc.ca+ca.ab=abc\left(a+b+c\right)\).

Vậy ta có đpcm.

\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4-a^4-b^4-a^3b-ab^3\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)+\left(b^4-b^3a\right)\ge0\\ \Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(2a^2+2ab+2b^2\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2+\left(a+b\right)^2\right)\ge0\left(luôn~đúng\right)\)

a) +) ab = 0, bđt đã cho luôn đúng

+) ab \(\ne0\), bđt đã cho tương đương:

a⁶ + b²a⁴ + b⁶ + a²b⁴ \(\ge a^6+b^6+2a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow b^2a^4+a^2b^4\ge2a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\), luôn đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b

b) tương tự

a) (a² + b²)(a⁴+b⁴) \(\ge\) (a³+b³)²

(=) a⁶ + a²b⁴+ b⁶ + b²a^{4\(\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)}

(=) \(a^6-a^6+b^6-b^6+a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge0\)

(=)\(a^2b^4\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

(=) \(a^2b^4\left(a-b\right)^2\ge0\)luôn luôn đúng

\(\text{a) }A=x^2-10x+25\\ A=x^2-2\cdot x\cdot5+5^2\\ A=\left(x-5\right)^2\\ Do\text{ }\left(x-5\right)^2\ge0\forall x\\ \Leftrightarrow A\ge0\forall x\\ \text{Dấu "=" xảy ra khi : }\\ \left(x-5\right)^2=0\\ \Leftrightarrow x-5=0\\ \Leftrightarrow x=5\\ \text{Vậy }A_{\left(Min\right)}=0\text{ }khi\text{ }x=5\)

\(\text{b) }B=x^2+y^2-x+6y+10\\ B=\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\left(y^2+6y+9\right)+\dfrac{3}{4}\\ B=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2+\dfrac{3}{4}\\ Do\text{ }\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\\ \left(y+3\right)^2\ge0\forall y\\ \Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge0\forall x;y\\ \Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+3\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\forall x;y\\ \text{Dấu "=" xảy ra khi: }\left\{{}\begin{matrix}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\\\left(y+3\right)^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{2}=0\\y+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=-3\end{matrix}\right.\\ \text{ Vậy }B_{\left(Min\right)}=\dfrac{3}{4}\text{ }khi\text{ }x=\dfrac{1}{2};y=-3\)

\(\text{c) }C=2x^2-6x+10\\ C=\left(2x^2-6x+\dfrac{9}{2}\right)+\dfrac{11}{2}\\ C=2\left(x^2-3x+\dfrac{9}{4}\right)+\dfrac{11}{2}\\ C=2\left[x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\right]+\dfrac{11}{2}\\ C=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{2}\\ Do\text{ }\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\\ \Rightarrow2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\\ \Rightarrow2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{11}{2}\ge\dfrac{11}{2}\\ \text{Dấu "=" xảy ra khi: }\\ \left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2=0\\ \Leftrightarrow x-\dfrac{3}{2}=0\\ \Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\\ \text{Vậy }C_{\left(Min\right)}=\dfrac{11}{2}khi\text{ }x=\dfrac{3}{2}\)

\(\)

a, Ta có:

A= x²-10x+25=(x+5)²

Vì (x+5)²\(\ge\)0\(\forall\)x

\(\Rightarrow\)Min A = 0

Khi đó :

(x+5)²=0

\(\Leftrightarrow\)x+5=0

\(\Rightarrow\)x=5

Vậy min A = 0 khi x=5

\(Q=2x^2-6x\)

\(=2.\left(x^2-3x\right)\)

\(=2.\left(x^2-2.x.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}\right)\)

\(=2.\left[\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{4}\right]\)

\(=2.\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-2.\frac{9}{4}\)

\(=2.\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{9}{2}\ge-\frac{9}{2}\)

Dấu = xảy ra khi:

\(2.\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x-\frac{3}{2}=0\)

\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)

Vậy:..............

a, Xét ΔBDC vuông tại D có M là trđ BC
=> DM = BC/2 (t/c tam giác vuông)

b, Xét ΔEBC vuông tại E có M là trđ BC

=> EM = BC/2 (t/c tam giác vuông)
Do đó

DM = EM (=BC/2)

=> ΔDME cân tại M

c, Xét ΔDME cân tại M có N là trđ DE (gt)
=> MN ⊥ DE (t/c tam giác cân)

a, Xét ΔABC có

M là trđ BC (gt)
N là trđ AC (gt)
=> MN là đường tb ΔABC

=> MN // AB
Mà AB ⊥ AC (ΔABC vuông tại A)
=> MN ⊥ AC tại N

b, Xét ΔAMC có

MN ⊥ AC tại N
N là trđ AC

=> ΔAMC cân tại M
c, Do ΔAMC cân tại M nên AM = MC (t/c tam giác cân)

Mà M là trđ BC

=> AM = MC = BC/2

Hay 2AM = BC

\(\left(x-9\right)\left(x-9\right)+\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)-\left(5x-4\right)\left(x-2\right)\)

\(=\left(x-9\right)^2+\left(2x+1\right)^2-\left(5x-4\right)x+2\left(5x-4\right)\)

\(=x^2-18x+81+4x^2+4x+1-5x^2+4x+10x-8\)

\(=74\)

Vậy biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

Xét hình thang ABCD có:

AE = DE

BF = CF

=> EF là đường trung bình của hình thang ABCD

=> EF// AB và DC (1)

Mà : K ∈ EF (2)

Từ (1), (2) => EK // DC

Xét tam giác ADC có

AE = DE

EK// DC

=> AK = CK

b, Xét tam giác ADC có

AE = DE

AK =CK

=> EK là đường trung bình của tam giác ADC

=> EK = \(\frac{1}{2}\)DC

Mà: DC = 10 cm

=> EK = 5cm

Ta có: Tam giác ABC có:

BF = CF

AK = CK

=> KF là đường trung bình của tam giác ABC

=> KF = \(\frac{1}{2}\)AB

Mà: AB = 4cm

=> KF = 2 cm

Vậy EK = 5cm

KF = 2cm

Cậu xem lại nhé.

a) Xét hình thang ABCD có :

E là trung điểm của AD

F là trung điểm của BC

Nên : EF là đường trung bình của hình thang ABCD

Do đó : EF // AB // CD và EF = \(\frac{AB+CD}{2}\)

Xét △ ABC có :

F là trung điểm của BC

KF // AB ( K ∈ EF, EF // AB )

Nên : KF là đường trung bình của △ ABC

D o đó : K là trung điểm của AC

b) Theo câu a) ta có : KF là đương trung bình của △ ABC

Nên : KF = \(\frac{AB}{2}\) = 4 : 2 = 2 ( cm )

Lại có : EF = \(\frac{AB+CD}{2}\)

Do đó : EF = \(\frac{4+10}{2}\)= 7 ( cm )

Mà : EK = EF - KF

Suy ra : EK = 7 - 2 = 5 ( cm )

a) Xét ΔADC có

M là trung điểm của AD(gt)

I là trung điểm của DC(gt)

Do đó: MI là đường trung bình của ΔADC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MI//AC và \(MI=\frac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(1)

Ta có: ΔABC vuông tại B(gt)

mà BN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC(N là trung điểm của AC)

nên \(BN=\frac{AC}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra MI=BN

Xét ΔADC có

M là trung điểm của AD(gt)

N là trung điểm của AC(gt)

Do đó: MN là đường trung bình của ΔADC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒MN//DC(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay MN//BC

Xét tứ giác MNCB có MN//BC(cmt)

nên MNCB là hình thang có hai đáy là MN và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang MNCB(MN//BC) có MI=BN(cmt)

nên MNCB là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

Nguyễn Lê Phước Thịnh , Miyuki Misaki