Hỏi đáp Toán lớp 8

Biến đổi từ giả thuyết:
a + b + c = 0
<=> (a + b + c)² = 0
<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) = 0
<=> a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca) ------------(1)

CẦn chứng minh:

2(a⁴ + b⁴ + c⁴) = (a² + b² + c²)²

<=> 2(a⁴ + b⁴ + c⁴) = a^⁴ + b⁴ + c⁴ + 2(a²b² + b²c² + c²a²)

<=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 2(a²b² + b²c² + c²a²)

<=> (a² + b² + c²)² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ---(cộng 2 vế cho 2(a²b² + b²c² + c²a²) )

<=> [-2(ab + bc + ca)]² = 4(a²b² + b²c² + c²a²) ----(do (1))

<=> 4.(a²b² + b²c² + c²a²) + 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 4(a²b² + b²c² + c²a²)

<=> 8.(ab²c + bc²a + a²bc) = 0

<=> 8abc.(a + b + c) = 0

<=> 0 = 0 (đúng), Vì a + b + c = 0

=> Đpcm

Xét hình thang ABCD cân (AB // CD).

Giả sử AB \(\le\) CD.

Qua D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại E.

Ta có: BE // CD và BC // DE nên BCDE là hình bình hành.

Từ đó: \(\widehat{BCD}=\widehat{E}\)

Mặt khác: \(\widehat{BCD}=\widehat{ADC}=180^o-\widehat{DAB}=\widehat{DAE}\)

Do đó \(\widehat{DAE}=\widehat{E}\) hay tam giác ADE cân tại D.

Suy ra DA = DE mà DE = BC (do BCDE là hình bình hành) nên DA = BC.

Bmin=1 khi x=0

​

Gọi số công nhân của tổ đó lúc đầu là: \(x\left(x>0,x\ne3\right)\) (người)

Mỗi công nhân sẽ làm được số sản phẩm theo dự định là: \(\frac{360}{x}\) (sản phẩm)

Số công nhân sau khi được điều đi là: \(x-3\) (người)

Theo bài ra ta có phương trình: \(\frac{360}{x-3}-4=\frac{360}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{360}{x-3}-\frac{4x-12}{x-3}=\frac{360}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{372-4x}{x-3}=\frac{360}{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(372-4x\right)x=360x-1080\)

\(\Leftrightarrow x^2-3x-270=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-18\right)\left(x+15\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-18=0\\x+15=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=18\left(t/m\right)\\x=-15\left(kt/m\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

Gọi số công nhân ban đầu của đội là x (x>3; x\(\in\)N)

Lý luận để dẫn đến phương trình:\(\dfrac{360}{x-3}-\dfrac{360}{x}=4\)

Giải phương trình ra nghiệm \(\left[{}\begin{matrix}x=-15\left(ktm\right)\\x=18\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Kết luận: Vậy số công nhân ban đầu là 18 người.

Đặt x=y-1

A=\(y^2+\left(\frac{\left(y-1\right)^2}{y}+y-1\right)^2\ge2y\left(y-2+\frac{1}{y}+y-1\right)=2y\left(2y-3+\frac{1}{y}\right)=4y^2-6y+2=4y^2-6y+\frac{9}{4}-\frac{1}{4}=\left(2y-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

$a^3+b^3+\frac{1}{\sqrt{27}}\geq \sqrt{3}ab$

$b^3+c^3+\frac{1}{\sqrt{27}}\geq \sqrt{3}bc$

$c^3+a^3+\frac{1}{\sqrt{27}}\geq \sqrt{3}ac$

Cộng theo vế và thu gọn ta có:

$2(a^3+b^3+c^3)+\frac{1}{\sqrt{3}}\geq \sqrt{3}(ab+bc+ac)=\sqrt{3}$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

\(x^2+y^2+z^3+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+1+1+1\ge2x+2y+2z\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-2z+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

--> đpcm

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z = 1

Giả sử x là nghiệm nguyên

\(\Rightarrow p\left(x\right)=-4x^4+2x^3-3x^2+x+1=0\)

TH1: \(x\ne0\)

\(\Rightarrow p\left(x\right)⋮x\)(do bằng 0 và x là số nguyên \(\ne0\))

mà \(-4x^4+2x^3-3x^2+x+1\)lại chia hết cho x với x là số nguyên khác 0

=>1 chia hết cho x

=>\(x=-1\) hoặc \(x=1\),thay vào ta được p(1) và p(-1)khác 0 nên 1 và -1 không phải là nghiệm

TH2: nếu x=0

thay vào ta được p(0)cũng khác 0 nên 0 không phải là nghiêm

vậy đa thức p(x) không có nghiệm nguyên

Gọi thời gian người thứ nhất làm riêng xong công việc là x ngày

Người thứ hai làm riêng xong công việc là y ngày

Điều kiện: x > 4; y > 4

Trong 1 ngày người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc

Trong 1 ngày người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc

Trong 1 ngày cả hai người làm được công việc

Ta có phương trình: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\)

Người thứ nhất làm riêng 9 ngày, người thứ hai đến làm chung 1 ngày nữa thì xong, ta có phương trình:

\(\frac{10}{x}+\frac{1}{y}=1\)

Ta có hệ phương trình:

Đặt ta có:

Suy ra:

x = 12; y = 6 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy: Người thứ nhất làm riêng xong công việc trong 12 ngày

Người thứ hai làm riêng xong công việc trong 6 ngày.

i

a) Xét ΔACB vuông tại B và ΔDBC vuông tại C có

AC=DB(hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD)

BC chung

Do đó: ΔACB=ΔDBC(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒ΔACB∼ΔDBC(hai tam giác bằng nhau là hai tam giác đồng dạng)(1)

Xét ΔDBC vuông tại C và ΔADH vuông tại H có

\(\widehat{DBC}=\widehat{ADH}\)(hai góc so le trong, AD//BC)

Do đó: ΔDBC∼ΔADH(góc nhọn)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔACB∼ΔADH

⇒\(\frac{BC}{DH}=\frac{AC}{AD}\)

⇒\(\frac{DH}{BC}=\frac{AD}{AC}\)(3)

Ta có: \(\frac{DE}{DH}=\frac{CK}{CB}\)

⇒\(\frac{DE}{CK}=\frac{DH}{BC}\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CK}\)

Xét ΔADB vuông tại A và ΔBCA vuông tại B có

BD=AC(hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD)

AD=BC(hai cạnh đối của hình chữ nhật ABCD)

Do đó: ΔADB=ΔBCA(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{ADB}=\widehat{BCA}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{ADE}=\widehat{ACK}\)

Xét ΔADE và ΔACK có

\(\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{CK}\)(cmt)

\(\widehat{ADE}=\widehat{ACK}\)(cmt)

Do đó: ΔADE∼ΔACK(c-g-c)