Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng BCEF, CAFD, ABDE là những tứ giác nội tiếp.
cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (o).Các đường cao AD,BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H
a,chứng minh BCEF và CDHE là các tứ giác nội tiếp
b,chứng minh EB là tia phân giác của góc FED và tam giác BFE đồng dạng với tam giác DHE
a: Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CDHE có
\(\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=180^0\)
Do đó: CDHE là tứ giác nội tiếp
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh BCEF và CDHE là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh EB là tia phân giác của góc FED và tam giác BFE đồng dạng vói tam giác DHE.
c) Giao điểm của AD với đường tròn (O) là I (I khác A), IE cắt đường tròn (O) tại K (K khác I). Gọi M là trung điểm của đoạn thằng EF. Chứng minh rằng ba điểm B, M, K thẳng hàng.
a: góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC nội tiếp
góc CDH+góc CEH=90+90=180 độ
=>CDHE nội tiếp
b: góc AFH+góc AEH=180 độ
=>AFHE nội tiếp
góc FEH=góc BAD
góc DEH=góc FCB
mà góc BAD=góc FCB
nên góc FEH=góc DEH
=>EH là phân giác của góc FED
Xét ΔBFE và ΔDHE có
góc BEF=góc DEH
góc BFE=góc DHE
=>ΔBFE đồng dạng với ΔDHE
Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp. c) Chứng minh DH là tia phân giác của góc EDF
a: Xét tứ giác AEHF có
\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)
Do đó: AEHF là tứ giác nội tiép
b: Xét tứ giác ABDE có
\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)
Do đó:ABDE là tứ giác nội tiếp
a) \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^o+90^o=180^o\)
\(\rightarrow\) Tứ giác \(AEHF\) nội tiếp đường tròn
b) \(\widehat{AEB}=\widehat{BDA}=90^o\)
\(\rightarrow\) Tứ giác \(ABDE\) nội tiếp đường tròn
a, Xét tứ giác AEHF có
^AFH + ^AEH = 1800
mà 2 góc này đối
Vậy tứ giác AEHF là tứ giác nt 1 đường tròn
b, Xét tứ giác ABDE có
^AEB = ^BDA = 900
mà 2 góc này kề, cùng nhin cạnh AB
Vậy tứ giác ABDE là tứ giác nt 1 đường tròn
c, Xét tứ giác DEAC có
^AFC = ^ADC = 900
mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh AC
Vậy tứ giác DEAC là tứ giác nt 1 đường tròn
=> ^ADF = ^ACF
Lại có ^ADE = ^ABE (góc nt chắn cung AE của tứ giác AEDB)
Xét tứ giác BEFC có ^BFC = ^BEC = 900
mà 2 góc này kề, cùng nhìn cạnh BC
Vậy tứ giác BEFC là tứ giác nt 1 đường tròn
mà ^FBE = ^ECF (góc nt chắc cung FE)
=> ^FDA = ^EDA
=> DH là pg ^EDF
cho tam giác abc có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (o) vẽ các đường cao be,cf của tam giác ấy gọi h là giao điểm của be và cf kẻ đg kính bk của (o)
a) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp
b) chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành
c)đường tròn đường kính AC cắt BE ở M đường tròn đường kính AB cặt CF ở N.chứng minh AM=AN
a: Xét tứ giác BFEC có góc BFC=góc BEC=90 độ
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔBCK nội tiếp
BK là đường kính
Do đó: ΔBCK vuông tại C
=>CK//AH
Xét (O) có
ΔBAK nội tiếp
BK là đường kính
Do đó: ΔBAK vuông tại A
=>AK//CH
Xét tứ giác CHAK có
CH//AK
CK//AH
DO đó: CHAK là hình bình hành
Cho tam giác ABC có 3 goc nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh tứ giác BDHF, ACDF, CFHD, ABDE nội tiếp b/ chứng minh DH là tia phân giác của EDF
a: Xét tứ giác BDHF có \(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=90^0+90^0=180^0\)
=>BDHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác AFDC có \(\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^0\)
nên AFDC là tứ giác nội tiếp
Sửa đề; CEHD
Xét tứ giác CEHD có
\(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)
=>CEHD là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác ABDE có \(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)
nên ABDE là tứ giác nội tiếp
b: Ta có: \(\widehat{FDH}=\widehat{FBH}\)(FBDH là tứ giác nội tiếp)
\(\widehat{EDH}=\widehat{ECH}\)(ECDH là tứ giác nội tiếp)
mà \(\widehat{FBH}=\widehat{ECH}\left(=90^0-\widehat{FAC}\right)\)
nên \(\widehat{FDH}=\widehat{EDH}\)
=>DH là phân giác của góc EDF
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) . Các đường cao AD, BE , và CF cắt nhau tại H . Đường thẳng EF cắt đường tròn ở I và K a) chứng minh : Tứ giác CDHE nội tiếp đường trònb) Chứng minh : AH . AD = AF . ABc) Kẻ tiếp tuyến Ax, chứng minh: BCEF nội tiếp. Từ đó chứng minh : Ax // IK
h vẽ như sau:
Xét tứ giác CEHD ta có:
Góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
Góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
Cho tam giác ABC nhọn AB<AC, nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp?
b) Đường kính CK của đường tròn (O) cắt DE tại M. Chứng minh CF.CK=CA.CB
c) Chứng minh tứ giác AKME nội tiếp và DE vuông góc CK tại M?
a: góc AEB=góc ADB=90 độ
=>ABDE nội tiếp
b: góc CBK=1/2*180=90 độ
Xet ΔCBK vuông tại B và ΔCFA vuông tại F có
góc BCK=góc FCA
=>ΔCBK đồng dạng vơi ΔCFA
=>CB/CF=CK/CA
=>CB*CA=CF*CK
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng tứ giác CDHE, BCEF nội tiếp
b) Hai đường thẳng EF và BC cắt nhau tại M. Chứng minh MB.MC = ME.MF
c) Đường thẳng qua B song song với AC cắt AM, AH ần lượt tại I,K . Chứng minh HB là phân giác của IHK
a/
Ta có D và E cùng nhìn HC dưới 1 góc vuông nên D và E thuộc đường tròn đường kính HC => CDHE là tứ giác nội tiếp
Ta có E và F cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông nên E và F thuộc đường tròn đường kính BC => BCEF là tứ giác nội tiếp
b/ Xét tg MEB và tg MCF có
\(\widehat{EMC}\) chung
\(\widehat{MEB}=\widehat{MCF}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
=> tg MEB đồng dạng với tg MCF (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{ME}{MC}=\dfrac{MB}{MF}\Rightarrow MB.MC=ME.MF\)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O đường kính r các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H
a)Chứng minh tứ giác BDHF , BCEF nội tiếp
b) cm AE.AC=AB.AF
c) cm FC là tia phân giác góc DFE
a: Xét tứ giác BDHF có
\(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=180^0\)
Do đó: BDHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
Do đó: BCEF là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{BAE}\) chung
Do đó: ΔAEB∼ΔAFC
Suy ra: AE/AF=AB/AC
hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)
cho tam giác ABC có các góc đều nhọn và có ba đường cao AD, CF, BE cắt nhau tại H
a, chứng minh tứ giác BCEF, AEHF nội tiếp
b, Chứng minh EH.EB=EA.EC
c, chứng minh H là tâm dường tròn nội tiếp tam giác DEF
a, E, F cùng nhìn BC dưới 1 góc 90 => tứ giác BFEC nội tiếp
cmtt F,E cung nhìn AH dưới 1 góc 90 => tứ giác AEHF nội tiếp =>góc EHC = góc BAC ( cùng bù với EHF)
b, Xét tam giác ABE và tam giác CHE có
góc BAC = góc EHC
góc BEA = góc CEH = 90
=>tam giác BAE đồng dạng với tam giác CHE(gg) =>AE/HE=BE/CE=> EA.EC=EH.EC
c,cmtt câu a, ta được tứ giác BFHD =>góc ABE = góc FDA
tứ giác DHEC nội tiếp =>góc ADE = góc FCA
Lại có góc ABE = góc FCA vì cùng phụ với góc BAC => góc FDA=góc ADE => AD là phân giác của góc FDE
cmtt =>FC và EB là phân giác của góc DFE và DEF
=> H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF