Cho (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn (O)(A,B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) sao cho điểm C nằm giữa hai điểm M và D. a)Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp b)Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh: MC.MD=MA^2. Từ đó suy ra MC.MD=MH.MO c)Lấy K là trung điểm của CD. Gọi E là giao điểm của BA và OK. Chứng minh EC là tiếp tuyến của (O)
a) Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{OAM}\) và \(\widehat{OBM}\) là hai góc đối
\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) Xét (O) có
\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\)
\(\widehat{CAM}\) là góc tạo bởi dây cung CA và tiếp tuyến AM
Do đó: \(\widehat{ADC}=\widehat{CAM}\)(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
hay \(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)
Xét ΔMDA và ΔMAC có
\(\widehat{MDA}=\widehat{MAC}\)(cmt)
\(\widehat{AMD}\) là góc chung
Do đó: ΔMDA∼ΔMAC(g-g)
⇔\(\dfrac{MD}{MA}=\dfrac{MA}{MC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇔\(MA^2=MC\cdot MD\)(đpcm)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền OM, ta được:
\(MA^2=MH\cdot MO\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(MH\cdot MO=MC\cdot MD\)(đpcm)
c) để chứng minh EC là tiếp tuyến:
chứng minh tứ giác OECH nội tiếp thì ta sẽ có góc OHE=OCE=90o(đpcm)
=> cần chứng minh tứ giác OECH nội tiếp:
ta có: DOC=DHC (ccc CD)
xét MHC=MDO (tam giác MCH~MOD)= OCD (vì DO=OC)=OHD (cùng chắn OD) => HA là phân giác CHD
DOC=DHC => 1/2 DOC= 1/2 DHC =COE=CHE
mà COE với CHE cùng chắn cung CE trong tứ giác OHCE nên tứ giác đấy nội tiếp => xong :))))
Cho đường tròn (O; 6cm) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (A và B là tiếp điểm), biết MO = 12cm . Tính A M B ^
A. 30°
B. 90°
C. 60°
D. 120°
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn . Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với đường tròn (O) trong đó A , B là hai tiếp điểm sao cho AMB = 90 độ . Qua điểm C trên cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn (o) cắt MA , MB tại P vs Q .
CMR : 1/3 ( MA + MB ) < PQ < 1/2 ( MA + MB)
o l m . v n
cho đường tròn tâm (o) từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đườn tròn (o)(A và B là hai tiếp tuyến).Gọi I là giao điểm của OM và AB; từ B kẻ đườn kính BC của đường tròn(o),đường thẳng MC cắt đường tròn (o) tai D (D khác C)
a)Chứng minh:4 điểm M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
b)Chứng minh:OM vuông với AB và MD.MC=MI.MO
c)Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với MC tại E và cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh: FC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Cho đường tròn (O; R) cố định. Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM và AB.
a) Chứng minh OM vuông góc với AB và OH.OM = R2
b) Từ M kẻ cát tuyến MNP với đường tròn (N nằm giữa M và P), gọi I là trung điểm của NP (I khác O). Chứng minh 4 điểm A, M, O, I cùng thuộc một đường tròn và tìm tâm của đường tròn đó
c) Qua N kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt MA và MB theo thứ tự ở C và D. Biết MA = 5cm, tính chu vi tam giác MCD.
d) Qua O kẻ đường thẳng d vuông góc với OM, cắt tia MA và MB lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của M để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất.
Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (O), A,
B là các tiếp điểm biết \(MA+MB=10\) góc AMB=60 độ
. Tính độ dài đoạn AB.
MA+MB=10
mà MA=MB
nên MA=MB=5cm
=>AB=5cm
cho đường tròn tâm o bán kính và m là một điểm nằm bên ngoài đường tròn . từ m kẻ hai tiếp tuyến từ ma,mb với đường tròn r (o) (a b là các tiếp điểm gọi e là giao điểm của ab và om
cho đường tròn tâm o bán kính và m là một điểm nằm bên ngoài đường tròn . từ m kẻ hai tiếp tuyến từ ma,mb với đường tròn r (o) (a b là các tiếp điểm gọi e là giao điểm của ab và om
Cho đường tròn (O). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) hẻ hai tiếp tuyến MA,MB của (O) ( với A,B là các tiếp điểm). Kẻ AH vuông góc với MB tại H. Đường thẳng AH cắt (O) tại N ( khác A). Đường tròn đường kính NA cắt các đường thẳng AB và MA theo thứ tự tại I và K.
a) Chứng minh tứ giác NHBI nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác NHI đồng dạng với tam giác NIK.
c) Gọi C là giao điểm của NB và HI, gọi D là giao điểm của Na và KI, Đường thẳng CD cắt MA tại E. Chứng minh CI = EA.
Cho đường tròn tâm (O), từ điểm M nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC với đường tròn, biết MA=6cm, MC=12cm.Tính MB.
Xét đường tròn tâm O ta có :
góc MAB = góc MCA = 1/2 sđ cung AB
Xét tam giác MAB và tam giác MCA có :
góc MAB = góc MCA
góc AMC Chung
=> \(\Delta MAB\sim\Delta MCA\)
=.> \(\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\)
=> MA2=MC.MB
<=> 62=12.MB
=>MB =3cm
vậy MB = 3 cm
