§3. Hàm số bậc hai

a) thay \(m=2\) vào ta có \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+3x+2=0\)

ta có : \(a-b+c=0\) \(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=-1;x_2=\dfrac{-c}{a}=-2\)

b) ta có : \(\Delta=\left(2m-1\right)^2-8\left(m-1\right)=4m^2-4m+1-8m+8\)

\(=4m^2-12m+9=\left(2m-3\right)^2\ge0\forall m\)

\(\Rightarrow\) phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\) (đpcm)

c) theo hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-2m\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

ta có : \(x_1\left(x_2-5\right)+x_2\left(x_1-5\right)=33\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-5x_1+x_1x_2-5x_2=33\Leftrightarrow2x_1x_2-5\left(x_1+x_2\right)=33\)

\(\Leftrightarrow2\left(2m-2\right)-5\left(1-2m\right)=33\Leftrightarrow14m-9=33\)

\(\Leftrightarrow m=3\) vậy \(m=3\)

áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=7\\x_1+x_2=3\end{matrix}\right.\)

ta có : \(\left(3x_1+x_2\right)\left(3x_2+x_1\right)=9x_1x_2+3x_1^2+3x_2^2+x_1x_2\)

\(=10x_1x_2+3\left(x_1^2+x_2^2\right)=10x_1x_2+3\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)\)

\(=10x_1x_2+3\left(x_1+x_2\right)^2-6x_1x_2=3\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2\)

\(=3.\left(3\right)^2+4\left(7\right)=55\)

Để (P) nằm hoàn toàn trên trục hoành thì

\(\left\{{}\begin{matrix}1>0\\\left(-2m\right)^2-4\left(m^2+3m-6\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m^2-12m+24< 0\)

=>-12m<-24

hay m>2

1: Vì (P) có giá trị nhỏ nhất là -2 nen c=-2

Vậy:(P): \(y=ax^2-2\)

Thay x=2 và y=3 vào (P),ta được:

4a-2=3

hay a=3/2

2: Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\cdot0^2+c=3\\4a+c=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=3\\a=-\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

Ta có:

\(y=x^2-2mx-2m=x^2-2mx+m^2-(m^2+2m)\)

\(=(x-m)^2-(m^2+2m)\)

Vì \((x-m)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow y=(x-m)^2-(m^2+2m)\geq -(m^2+2m)\)

Hay \(y_{\min}=-(m^2+2m)\)

Vậy để \(y_{\min}=-3\Rightarrow m^2+2m=3\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-3=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=1\\ m=-3\end{matrix}\right.\)

a: TH1: m=1

Pt sẽ là -8x+1=0

hay x=1/8(nhận)

TH2: m<>1

\(\text{Δ}=\left(2m+6\right)^2-4\left(m-1\right)\left(-m+2\right)\)

\(=4m^2+24m+36+4\left(m^2-3m+2\right)\)

\(=4m^2+24m+36+4m^2-12m+8\)

\(=8m^2+12m+44\)

\(=4\left(3m^2+2m+11\right)>0\forall m\)

Do đó: PT luôn có hai nghiệm phân biệt

b: TH1: m=1

Pt sẽ là 3x+1=0

hay x=-1/3(loại)

TH2 m<>1

\(\text{Δ}=\left(3m\right)^2-4\left(m-1\right)\)

\(=9m^2-4m+4\)

\(=9\left(m^2-\dfrac{4}{9}m+\dfrac{4}{9}\right)\)

\(=9\left(m^2-2\cdot m\cdot\dfrac{2}{9}+\dfrac{4}{81}+\dfrac{32}{81}\right)\)

\(=9\left(m-\dfrac{2}{9}\right)^2+\dfrac{32}{9}>0\)

Do đó: PT luôn có hai nghiệm phânbiệt

Để pt có hai nghiệm dương phân biệt thì

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-3m}{m-1}>0\\\dfrac{1}{m-1}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\0< m< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)