Violympic toán 9

đặt \(k^2=n^2+n+6\Rightarrow4k^2=4n^2+4n+24\Rightarrow\left(2k\right)^2=\left(2n+1\right)^2+23\)

\(\Rightarrow\left(2k\right)^2-\left(2n+1\right)^2=23\Rightarrow\left(2k+2n+1\right)\left(2k-2n-1\right)=23\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k+2n+1=23\\2k-2n-1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2k+2n=22\\2k-2n=2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}k+n=11\\k-n=1\end{matrix}\right.\Rightarrow}\left\{{}\begin{matrix}k=6\\n=5\end{matrix}\right.\)

vậy n=5

\(\dfrac{1}{2}-\sqrt{x^2-x+\dfrac{1}{4}}=0\) (*)

<=> \(\dfrac{1}{2}-\sqrt{x^2-2.\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}}=0\)

<=> \(\dfrac{1}{2}-\sqrt{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}=0\)

<=> \(\dfrac{1}{2}-\left|x-\dfrac{1}{2}\right|=0\)

* Với \(x-\dfrac{1}{2}>=0\) hay \(x>=\dfrac{1}{2}\), ta được:

\(\dfrac{1}{2}-x+\dfrac{1}{2}=0\)

<=> x= \(1\) (thoả mãn)

* Với \(x-\dfrac{1}{2}< 0\) hay \(x< \dfrac{1}{2}\), ta được:

\(\dfrac{1}{2}+x-\dfrac{1}{2}=0\)

<=> x = 0 ( thoả mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là S= \(\left\{1;0\right\}\)

1) Đề sai. Như thế này mới đúng.

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b+a}{ba}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

2) Áp dụng bài 1), ta có:

\(P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

\(P\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{4}}=4+2=6\)

Min_P là 6 khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)

Ta chứng minh: \(\sqrt{a+bc}\ge a+\sqrt{bc}\)

Thật vậy, ta có:

\(a+bc\ge a^2+2a\sqrt{bc}+bc\)

\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow1\ge a+2\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge a+2\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge2\sqrt{bc}\)(Đúng theo Cauchy)

Tương tự: \(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)

\(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)

Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh ta được đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{2x-1}\right)=\left(a;b\right)\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a-b=3-x\\b^2-a^2=-\left(3-x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow b-a=\left(b+a\right)\left(b-a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(b+a-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}b=a\\b+a-1=0\end{matrix}\right.\)

Tự giải tiếp

Phương trình tương đương :

\(\sqrt{x^2+15}-4=3x-3+\sqrt{x^2+8}-3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^2+15}+4}=3\left(x-1\right)+\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x^2+8}+3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2+15}+4}-3\left(x-1\right)-\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2+8}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+15}+4}-3-\dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+8}+3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)

@Võ Hồng Phúc

mình hỏi là sao lại \(\sqrt{x^{ }2+15}-4=3x-3+\sqrt{x^{ }2+8}-3\) sao lại có -4 với -3 trong đó hả bạn ??

\(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}-2=\dfrac{x^2+7}{2\left(x+1\right)}-2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+\dfrac{3}{x}-4}{\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2}=\dfrac{x^2-4x+3}{2\left(x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-4x+3}{x\left(\sqrt{x+\dfrac{3}{x}}+2\right)}=\dfrac{x^2-4x+3}{2\left(x+1\right)}\)

......