Question

Bài 1: Cho a,b>0.Chứng minh 1/a + 1/b ≥1/a+b

Bài 2 : Cho a,b>0,a+b=1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=1/a²+b² + 1/ab

Answer 1

1) Đề sai. Như thế này mới đúng.

\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b+a}{ba}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

2) Áp dụng bài 1), ta có:

\(P=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)

\(P\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{4}}=4+2=6\)

Min_P là 6 khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)