Bài 10: Tính chất chia hết của một tổng. Luyện tập

\(1+3+3^2+3^3+...+3^{2023}\)

\(=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+...+\left(3^{2022}+3^{2023}\right)\)

\(=4+3^2\cdot\left(1+3\right)+...+3^{2022}\cdot\left(1+3\right)\)

\(=4+4\cdot3^2+4\cdot3^4+....+4\cdot3^{2022}\)

\(=4\cdot\left(1+3^2+3^4+...+3^{2022}\right)\)

Mà: \(4\cdot\left(1+3^2+3^4+...+3^{2022}\right)\) ⋮ 4

\(\Rightarrow1+3+3^2+3^3+....+3^{2023}\) ⋮ 4 

Đặt \(A=1+3+3^2+...+3^{2023}\)

\(A=4+3^2\left(1+3\right)+...+3^{2022}\left(1+3^{2021}\right)\)

\(=4\left(1+3^2+...+3^{2022}\right)⋮4\)

\(\Rightarrow A⋮4\left(đpcm\right)\)

1+3+3^2+...........+3^2023

=(1+3)+(3^2+3^3)+.........+(3^2022+3^2023)

=4+3^2(1+3)+.......+3^2022(1+3)

=4(3^2+3^4+......+3^2022)chia hết cho 4

=>1+3+3^2+......................................................................+3^2023 chia hết cho 4

unicorn in taming 50/50

Bài 16a.

 Ta thấy: $6^2=6\times 6$ có tận cùng là 6

$6^3=6^2\times 6=\overline{...6}\times 6$ có tận cùng là $6$

$6^4=6^3\times 6=\overline{...6}\times 6$ có tận cùng là $6$

Cứ nhân mãi thế thì suy ra $6^{100}$ cũng có tận cùng là $6$

$\Rightarrow 6^{100}-1$ có tận cùng là $5$

Suy ra $6^{100}-1$ chia hết cho 5.

16b.

Ta thấy $21^{20}$ là số lẻ

$11^{10}$ cũng là số lẻ

$\Rightarrow 21^{20}-11^{10}$ là số chẵn (tức là chia hết cho $2$)

Mặt khác:
$21^20=\underbrace{21.21...21}_{20}$ có tận cùng là $1$

$11^{10}=\underbrace{11.11.11...11}_{10}$ có tận cùng là $1$

$\Rightarrow 21^{20}-11^{10}$ tận cùng là $0$

$\Rightarrow 21^{20}-11^{10}$ chia hết cho 5

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Bài 17:
a. $\overline{aaa}=a\times 100+a\times 10+a=a\times (100+10+1)$

$=a\times 111=a\times 37\times 3\vdots 3$ (điều phải chứng minh)

b. $\overline{aaa}=a\times 111=a\times 37\times 3\vdots 9$ khi mà $a\times 37\vdots 3$

$\Rightarrow a\vdots 3$
Vì $a$ là số tự nhiên có 1 chữ số và $a\neq 0$ nên $a\in\left\{3; 6; 9\right\}$

\( 19 { \left(2+3+4-5+6-7 \right) }^{ { 2 }^{ 2 } } -9 \left( 7x-2 \right) = 0 \)

\(\Rightarrow19\cdot\left(2+3+4+5+6-7\right)^4-9\left(7x-2\right)=0\)

\(\Rightarrow19\cdot\left(5+9-1\right)^4-9\left(7x-2\right)=0\)

\(\Rightarrow19\cdot13^4-9\left(7x-2\right)=0\)

\(\Rightarrow19\cdot28561-9\left(7x-2\right)=0\)

\(\Rightarrow542659-9\left(7x-2\right)=0\)

\(\Rightarrow9\left(7x-2\right)=542659\)

\(\Rightarrow7x-2=542659:9\)

\(\Rightarrow7x=\dfrac{542659}{9}+2\)

\(\Rightarrow7x=\dfrac{542677}{9}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{542677}{9}:7\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{542677}{63}\)

Để chứng minh S chia hết cho 2 và S chia hết cho 57, ta sẽ xem xét từng thành phần trong công thức của S.

Đầu tiên, ta xét dãy từ 71 đến 72025. Trong dãy này, có 72025 - 71 + 1 = 71955 số.

Ta biết rằng nếu một số chia hết cho 2, thì số đó là số chẵn. Trong dãy từ 71 đến 72025, ta có 2 số lẻ liên tiếp (71 và 72), sau đó là 2 số chẵn liên tiếp (73 và 74), và tiếp tục lặp lại quy luật này. Vì vậy, trong 71955 số này, ta có 71955/2 = 35977.5 cặp số chẵn và lẻ.

Do đó, tổng của các số chẵn trong dãy này là 35977.5 * 2 = 71955.

Tiếp theo, ta xét số 72024. Ta biết rằng 72024 chia hết cho 2.

Cuối cùng, ta xét số 72025. Ta biết rằng 72025 chia hết cho 57, vì 72025 = 57 * 1265.

Vậy tổng S chia hết cho 2 và chia hết cho 57.

\(B=3+3^2+3^3+...+3^{300}\)

\(B=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{298}+3^{299}+3^{300}\right)\)

\(B=\left(3+3^2+3^3\right)+3^3\cdot\left(3+3^2+3^3\right)+...+3^{297}\cdot\left(3+3^2+3^3\right)\)

\(B=39+3^3\cdot39+...+3^{297}\cdot39\)

\(B=39\cdot\left(1+3^3+...+3^{297}\right)\)

Vậy B chia hết cho 39

Ta có:

\(11^{2024}\)

\(=11^2\cdot11^{2022}\)

\(=121\cdot11^{2022}\)

Vậy \(11^{2024}\) chia hết cho \(121\)

Ta có:

\(3^{2022}\)

\(=3^2\cdot3^{2020}\)

\(=3^2\cdot3^2\cdot3^{2018}\)

\(=3^4\cdot3^{2018}\)

\(=81\cdot3^{2018}\)

Vậy \(3^{2022}\) chia hết cho 81 

3²⁰²² = 3⁴.3²⁰¹⁸

= 81.3²⁰¹⁸ ⋮ 81

Vậy 3²⁰²² ⋮ 81

Gọi 6 số đó là:

\(x,\left(x+1\right),\left(x+2\right),\left(x+3\right),\left(x+4\right),\left(x+5\right)\)

Mà: \(x\left(x+1\right)\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

\(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\) là hai số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

\(\Rightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\) chia hết cho 2.2 = 4 

Mà: \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) chia hết cho 3

\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\) sẽ chia hết cho 4.3 = 12 

Và: \(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)\) sẽ chia hết cho 4 nên

\(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)\) sẽ chia hết cho 12.4 = 48

Gọi 4 số đó là:

\(a,a+1,a+2,a+3,a+4\)

Tích của 4 số này là: 

Mà: tích của \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3

Tích của \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 4 

Mà: \(3\cdot4=12\) 

Nên: \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+4\right)\) là bội của 12 hay \(a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\) chia hết cho 12