Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Tùng

a,b > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a^3+b}+\frac{1}{a+b^3}\right)-\frac{1}{ab}\)

Mọi người giúp em với ạ !

Nguyễn Việt Lâm
17 tháng 4 2020 lúc 18:15

\(\left(a^3+b\right)\left(\frac{1}{a}+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\Rightarrow\frac{a+b}{a^3+b}\le\frac{\frac{1}{a}+b}{a+b}\)

Tương tự: \(\frac{a+b}{a+b^3}\le\frac{\frac{1}{b}+a}{a+b}\)

\(\Rightarrow S\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b}{a+b}-\frac{1}{ab}=\frac{1}{ab}-\frac{1}{ab}+1=1\)

\(S_{max}=1\) khi \(a=b=1\)

Bình luận (0)
tthnew
9 tháng 7 2020 lúc 9:15

Quy đồng lên$,$ ta cần chứng minh:

Áp dụng BĐT AM-GM: $0 {a}^{4}{b}^{4}-{a}^{4}{b}^{2}+{a}^{3}{b}^{3}-{a}^{2}{b}^{4}+{a}^ {4}-{a}^{3}b-{a}^{2}{b}^{2}-a{b}^{3}+{b}^{4}+ab \geq 0$

${a}^{3}b\leq \frac{1}{2} \,{a}^{4}+\frac{1}{2} \,{a}^{2}{b}^{2},\\a{b}^{3}\leq \frac{1}{2}\,{a}^{ 2}{b}^{2}+\frac{1}{2}\,{b}^{4},\\{a}^{2}{b}^{4}\leq \frac{1}{2}\,{a}^{4}{b}^{4}+\frac{1}{2}\,{b} ^{4},\\2\,{a}^{2}{b}^{2}\leq {a}^{3}{b}^{3}+ab.$

Cộng theo vế các BĐT trên ta thu được điều phải chứng minh.

Bình luận (0)
tthnew
9 tháng 7 2020 lúc 9:15

Thay $0a^4 b^4$ thành $a^4 b^4$ giúp em nha! Đánh dư:(

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Trần Quang Nghĩa
Xem chi tiết
Nguyễn Tuấn
Xem chi tiết
Lê Mai Hương
Xem chi tiết
Phạm Dương Ngọc Nhi
Xem chi tiết
CAO Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Tùng Trần Sơn
Xem chi tiết
CAO Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Tuấn
Xem chi tiết
dam thu a
Xem chi tiết
Trần Khánh Huyền
Xem chi tiết