a) Xét ΔABH vuông tại H và ΔACK vuông tại K có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{A}\) chung
Do đó: ΔABH=ΔACK(cạnh huyền-góc nhọn)
⇒AH=AK(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔAKI vuông tại K và ΔAHI vuông tại H có
AI là cạnh chung
AK=AH(cmt)
Do đó: ΔAKI=ΔAHI(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
⇒\(\widehat{KAI}=\widehat{HAI}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(K∈AB; H∈AC)
mà tia AI nằm giữa hai tia AB,AC
nên AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
b) Ta có: ΔABH=ΔACK(cmt)
⇒\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\)(K∈AB; H∈AC)
Ta có: AK+BK=AB(K nằm giữa A và B)
AH+CH=AC(H nằm giữa A và C)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
và AK=AH(cmt)
nên BK=CH
Xét ΔKBI và ΔHCI có
BK=CH(cmt)
\(\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\)(cmt)
Do đó: ΔKBI=ΔHCI(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
⇒IB=IC(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔIBC có IB=IC(cmt)
nên ΔIBC cân tại I(định nghĩa tam giác cân)
c) Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: IB=IC(cmt)
nên I nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Ta có: BM=CM(M là trung điểm của BC)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A,I,M thẳng hàng(đpcm)
