Cho phương trình \(x^2-2\left(m+2\right)x+m^2-4=0\left(1\right)\) ( \(m\) là tham số ). Gọi \(x_1,x_2\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình trên.
a) Không giải phương trình hãy tính \(P=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\) với \(m=2\).
b) Tìm \(m\) thoả mản phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm thoã mản \(\sqrt{\frac{x_1x_2}{x_1+2x_2+\frac{x_2^2}{x_1}}}=\sqrt{x_1}\)
\(\Delta'=m^2+4m+4-m^2+4=4m+8>0\Rightarrow m>-2\)
Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+2\right)\\x_1x_2=m^2-4\end{matrix}\right.\)
Để căn thức xác định \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1\ge0\\x_2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge2\)
\(P^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=2\left(m+2\right)+2\sqrt{m^2-4}=8\Rightarrow P=2\sqrt{2}\)
\(\sqrt{\frac{x_1x_2}{x_1+2x_2+\frac{x^2_2}{x_1}}}=\sqrt{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1x_2}{x_1+2x_2+\frac{x^2_2}{x_1}}=x_1\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2\Leftrightarrow x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow m^2-4=4\left(m+2\right)^2\Leftrightarrow3m^2+8m+8=0\)
Pt vô nghiệm \(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn
