Cho tam giác ABC vuông tại B có AB = 18 cm, AC = 30 cm
a) Giải tam giác ABC
b) Kẻ đg cao AH. Tính AH, BH, CH
c) Kẻ đg phân giác BD. Tính BD, CD
d) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, BC. Tính EF, diện tích tứ giác BEHF
e) Kẻ đường trung tuyến BM.
+) Trong 3 điểm H,D,M điểm nào nằm giữa 3 điểm còn lại? Vì sao (ko tính độ dài)
+) CMR: BM vuông góc EF
mình chỉ cần câu e nha, mấy câu kia chỉ cần giải vắn tắt lấy dữ kiện là đc r
Hình bạn tự vẽ nha, cảm ơn 
a)Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B, có:
\(BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{30^2-18^2}=\sqrt{576}=24\left(cm\right)\)
\(\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow\widehat{A}\approx53^o8'\)
\(\Rightarrow\widehat{C}\approx90^o-\widehat{A}=90^o-53^o8'=36^o52'\)
b)Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B, có đường cao BH:
\(AH=\frac{AB^2}{AC}=\frac{18^2}{30}=10,8\left(cm\right)\)
\(BH.AC=AB.BC\Rightarrow BH=\frac{AB.BC}{AC}=\frac{18.24}{30}=14,4\left(cm\right)\)
\(CH=AC-AH=30-10,8=19,2\left(cm\right)\)
c)Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B, có: BD là phân giác của góc ABC:
\(\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}=\frac{AD+CD}{AB+BC}=\frac{30}{42}=\frac{5}{7}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{AD}{AB}=\frac{5}{7}\Rightarrow AD=\frac{5AB}{7}=\frac{5.18}{7}\approx12,86\left(cm\right)\\\frac{CD}{BC}=\frac{5}{7}\Rightarrow CD=\frac{5BC}{7}=\frac{5.24}{7}\approx17,14\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
d)Vì BEHF là HCN (vì \(\widehat{E}=\widehat{B}=\widehat{F}\left(=90^o\right)\))
nên EF=BH=14,4(cm)
Lại có:
\(BE=\frac{BH^2}{AB}=\frac{\left(14,4\right)^2}{18}=11,52\left(cm\right)\)
\(BF=\frac{BH^2}{BC}=\frac{\left(14,4\right)^2}{24}=8,64\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow S_{BEHF}=BE.BF=11,52.8,64=99,5328\left(cm^2\right)\)
e)
+)Xét \(\Delta ABC\) vuông tại B, có:
-BD là tia phân giác
-BH là đường cao
-BM là đường trung tuyến
Ta có: \(\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}\) mà AB<BC nên AD<CD\(\Rightarrow AD+CD< CD+CD\)
\(\Leftrightarrow AC< 2CD\Leftrightarrow CD>\frac{AC}{2}\)
Mà \(MC=\frac{1}{2}AC\)
\(\Rightarrow CD>MC\)
\(\Rightarrow\) M nằm giữa D và C(1)
Lại có: \(\widehat{CBH}=90^o-\widehat{C}\)
mà \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{CBH}=\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{2}-\widehat{C}=\frac{\widehat{A}}{2}+\frac{\widehat{B}}{2}-\frac{\widehat{C}}{2}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{A}-\widehat{C}}{2}\)
Mà \(AB< BC\Rightarrow\widehat{C}< \widehat{A}\Rightarrow\widehat{A}-\widehat{C}>0\)
\(\Rightarrow\widehat{CBH}>\frac{\widehat{B}}{2}=\widehat{CBD}\)
\(\Rightarrow\)tia BD nằm giữa 2 tia BC và BH
\(\Rightarrow\)D nằm giữa C và H(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra: D nằm giữa M và H
+)Ta có: \(BM=CM\)(vì BM là đường trung tuyến)
\(\Rightarrow\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)
Lại có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BFE}+\widehat{BEF}=90^o\\\widehat{BEF}=\widehat{HBE}\\\widehat{HBE}+\widehat{BAH}=90^o\end{matrix}\right.\Rightarrow\widehat{BFE}=\widehat{BAH}\)
Mà \(\widehat{MCB}+\widehat{BAH}=90^o\)
Do đó: \(\widehat{MBC}+\widehat{BFE}=90^o\)
Gọi giao điểm của BM và EF là I
thì ta có: \(\widehat{BIF}=90^o\Rightarrow BM\perp EF\)
e, Do BD là p/giác của tam giác ABC
=> \(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{AC}\) mà AB<BC
=> AD<DC
<=>AD+DC<2DC
<=>DC \(>\frac{AC}{2}=MC\) (do M là trung điểm của AC)
=> M nằm giữa D và C (1)
Có \(\widehat{ABH}=90^0-\widehat{A}\)(do tam giác AHB vuông tại H)
=\(\frac{\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}}{2}-\widehat{A}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}-\widehat{A}}{2}\)
mà \(AB< BC\)=> \(\widehat{C}< \widehat{A}\)
=> \(\frac{\widehat{C}-\widehat{A}}{2}< 0\)
=> \(\widehat{ABH}=\frac{\widehat{B}}{2}+\frac{\widehat{C}-\widehat{A}}{2}< \frac{\widehat{B}}{2}=\widehat{ABD}\)
nên AH<AD
=>H nằm giữa A và D (2)
Từ (1),(2) và D nằm giữa A và C=> D nằm giữa H và M
*)Có BM là trung truyến của tam giác ABC vuông tại B
=> AM=BM=MC (vì trong tác giác vuông ,đường trung tuyến ứng với cạnh huyền = một nửa cạnh huyền)
=> Tam giác MBC cân tại M
=> \(\widehat{MBC}=\widehat{C}\)
Gọi O là giao điểm của EF và HB, I là giao/điểm của EF và BM
CM :EBFH là hcn
=> EO=OH(t/c đc trong hcn)
=>Tam giác EOH cân tại O
=> \(\widehat{HEO}=\widehat{EHO}\)
=> \(\widehat{FEB}=\widehat{BHF}\) (vì cùng phụ 2 góc = nhau)
C/M được \(\widehat{BHF}=\widehat{C}\) (vì cùng phụ với góc HBC)
=>\(\widehat{FEB}=\widehat{C}\) mà \(\widehat{C}=\widehat{MBC}\)(cm trên)
=> góc FEB=góc MBC
<=> \(\widehat{FEB}+\widehat{EBM}=\widehat{EBM}+\widehat{MBC}\)
=\(\widehat{EBC}=90^0\)
=> Tam giác EBI vuông tại I
=> \(EI\perp BI\) hay \(EF\perp BM\)
P/s: trong quá trình đánh máy có thể sảy ra sai sót,vì lười kiểm tra nên mong bạn bỏ qua:))
Gửi bn 2 bài nhé .
Bài 1 :
Hình vuông MNPQ . Trên tia đối của tia QP lấy điểm E ; trên tia đối của tia PQ lấy điểm F sao cho QE = PF và ME vuông góc với MF . Cho EF = 10cm . Tính S MNPQ
Bài 2 :
Cho \(\Delta ABC\) cân tại A ; \(BM\perp AC\)
\(CMR:\frac{AM}{MC}=2\left(\frac{AC}{BC}\right)^2-1\)
