Dễ thấy tập nghiệm \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right)\) thỏa mãn.
Xét \(xyz\ne0\), hệ tương đương với :
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x+y}{xy}=\frac{5}{6}\\\frac{y+z}{yz}=\frac{7}{12}\\\frac{x+z}{xz}=\frac{3}{4}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\left(1\right)\\\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{7}{12}\left(2\right)\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Có \(2\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{5}{6}+\frac{7}{12}+\frac{3}{4}=\frac{13}{6}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{13}{12}\)
+) Từ (1) suy ra \(\frac{1}{z}=\frac{13}{12}-\frac{5}{6}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow z=4\)
+) Từ (2) suy ra \(\frac{1}{x}=\frac{13}{12}-\frac{7}{12}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=2\)
+) Từ (3) suy ra \(\frac{1}{y}=\frac{13}{12}-\frac{3}{4}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow y=3\)
Vậy tập nghiệm của hệ là \(\left(x;y;z\right)\in\left\{\left(0;0;0\right);\left(2;3;4\right)\right\}\)
