Question

chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để cho giá trị của biểu thức n^6-n^4-2n^2+9 chia hết cho giá trị của biểu thức n^4+n^2

Answer 1

Ta có: \(n^6-n^4-2n^2=n^6+n^4-2n^4-2n^2=\left(n^4+n^2\right)\left(n^2-2\right)\)

chia hết cho \(n^4+n^2\).

Để \(n^6-n^4-2n^2+9⋮n^4+n^2\)

\(\Rightarrow9⋮n^4+n^2\)

\(\Leftrightarrow n^4+n^2\inƯ\left(9\right)=\left\{\pm1;\pm3;\pm9\right\}\)

Vì \(n^4+n^2=n^2\left(n^2+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow n^4+n^2=\left\{1;3;9\right\}\)

Ta có bảng sau:

\(n^4+n^2\)	1	3	9
\(n\in N\)	\(\varnothing\)	\(\varnothing\)	\(\varnothing\)
	(loại)	(loại)	(loại)

Vậy không tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn đề bài.

Answer 2

\(A=n^6-n^4-2n^2+9\)

\(=n^2\left(n^4+n^2\right)-2\left(n^4+n^2\right)+9\)

\(=\left(n^2-2\right)\left(n^4+n^2\right)+9\)

Do đó : \(A⋮n^4+n^2\Leftrightarrow9⋮n^4+n^2\)

+ \(n^4+n^2=n^2\left(n^2+1\right)⋮2\) ( tích 2 số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 )

\(\Rightarrow9⋮̸n^4+n^2\Rightarrow A⋮̸n^4+n^2\)