Cho hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2m\\mx+y=1-m\end{matrix}\right.\)(m là tham số)
a) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình:
1) Vô nghiệm
2) Có duy nhất 1 nghiệm. Tìm nghiệm đó.
3) Vô số nghiệm
b) Trong trường hợp hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất:
1) Hãy tìm các giá trị m nguyên để x,y cùng nguyên
2) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc m.
a)\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2m\left(1\right)\\mx+y=1-m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
1) Để hpt vô nghiệm thì : \(\dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{1}\ne\dfrac{2m}{1-m}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m\ne\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
2) Để hpt có 1 nghiệm thì: \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{1}\Rightarrow m\ne1\)
Khi đó: \(\left(1\right)\Rightarrow x=2m-my\ne2-y\)
\(\left(2\right)\Rightarrow y=1-m-mx\ne-x\)
3) Để hpt có vô số nghiệm thì: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m}=\dfrac{m}{1}\\\dfrac{m}{1}=\dfrac{2m}{1-m}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m=0\end{matrix}\right.\)
Vậy không có giá trị của m để hpt vô số nghiệm.
b) 1) \(\left(2\right)\Leftrightarrow x=2m-my\)
Thay vào (1), ta có: \(m\left(2m-my\right)+y=1-m\)
\(\Leftrightarrow2m^2-my+y=1-m\)
\(\Leftrightarrow y\left(1-m\right)=-2m^2-m+1\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{-2m^2-m+1}{1-m}\left(m\ne1\right)\)
Để y nguyên thì \(-2m^2-m+1⋮1-m\)
\(\Rightarrow2m^2⋮m-1\)
\(\Rightarrow2m^2⋮2\left(m-1\right)^2\)
\(\Rightarrow2m^2-4m+1+4m-1⋮2\left(m-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4m-1⋮m-1\)
\(\Rightarrow3⋮m-1\Rightarrow m-1\inƯ\left(3\right)=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)
\(\Rightarrow m\in\left\{-2;0;2;4\right\}\)
Thử lại, ta được : \(\left(x;y\right)=\left(0;1\right);\left(-14;9\right)\) thỏa mãn.
