BPT tương đương:
\(\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{2x^2+1}< \sqrt[3]{2x^2}-\sqrt[3]{x+1}\)
Do bình phương thiếu của tổng/hiệu luôn dương, nhân liên hợp tử mẫu mỗi vế với bình phương thiếu của tổng thì BPT ko đổi chiều:
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+2-2x^2-1}{\sqrt[3]{\left(x+2\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+2\right)\left(2x^2+1\right)+\sqrt[3]{\left(2x^2+1\right)^2}}}< \dfrac{2x^2-x-1}{\sqrt[3]{4x^4}+\sqrt[3]{2x^2\left(x+1\right)}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}}\)
Dài quá, ta viết tắt lại \(\dfrac{-\left(2x^2-x-1\right)}{MS1}< \dfrac{2x^2-x-1}{MS2}\)
\(\Leftrightarrow\left(2x^2-x-1\right)\left(\dfrac{1}{MS1}+\dfrac{1}{MS2}\right)>0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-x-1>0\) (do biểu thức trong ngoặc thứ 2 luôn dương)
\(\Rightarrow x< -\dfrac{1}{2}\) hoặc \(x>1\)
Đặt\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt[3]{x+1}=a\\\sqrt[3]{2x^{^2}}=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+\sqrt[3]{a^3+1}< b+\sqrt[3]{b^3+1}\)
Đễ thấy hàm số dạng: \(f\left(t\right)=t+\sqrt[3]{t^3+1}\) đồng biến trên R nên
\(\Rightarrow a< b\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{x+1}< \sqrt[3]{2x^2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-x-1>0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x< -\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
