Question

Tính độ dài đường phân giác AD của tam giác ABC biết AB=12cm, AC=15cm và BC=18cm.

Answer 1

Hình vẽ:

Answer 2

Hình vẽ:
Kẻ $DM,DN$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ ($M\in AB, N\in AC$)

Áp dụng tính chất tia phân giác:

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$

$\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{4}{9}\Rightarrow BD=18.\frac{4}{9}=8$ (cm)

$CD=BC-BD=10$ (cm)

Dễ chứng minh $\triangle AMD=\triangle AND$

$\Rightarrow MD=ND; AM=AN\Rightarrow NC-MB=AC-AB=3$

$\Rightarrow NC=MB+3$

Áp dụng định lý Pitago:

$DM^2=BD^2-MB^2$

$DN^2=CD^2-CN^2=CD^2-(MB+3)^2$

Mà $DM=DN$ nên $BD^2-MB^2=CD^2-(MB+3)^2$

$\Leftrightarrow 8^2-MB^2=10^2-(MB+3)^2$

$\Rightarrow MB=4,5$ (cm)

$\Rightarrow MD^2=BD^2-MB^2=8^2-4,5^2=43.75$

(cm)

$AD=\sqrt{AM^2+MD^2}=\sqrt{(AB-MB)^2+MD^2}=\sqrt{7,5^2+43,75}=10$ (cm)