Question

Dùng phương pháp phản chứng minh cho 2 phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+ax+b=0\\x^2+cx+d=0\end{matrix}\right.\)

biết rằng \(a.c\ge2\left(b+d\right)\)

Cmr: Ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm

Answer 1

Lời giải:

Giả sử cả 2 pt trên đều không có nghiệm.

Khi đó:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta_1=a^2-4b< 0\\ \Delta_2=c^2-4d< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+c^2< 4(b+d)\)

Kết hợp với đk: \(ac\geq 2(b+d)\Rightarrow 2ac> a^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+c^2-2ca< 0\Leftrightarrow (a-c)^2< 0\) (vô lý)

Do đó điều giả sử là sai.

Tức là ít nhất 1 trong 2 pt trên phải có nghiệm.