Lời giải:
$P=x^4+y^4-x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2-x^2y^2$
$=(x^2+y^2)^2-3x^2y^2=(1+xy)^2-3x^2y^2=-2x^2y^2+2xy+1$
$=-2t^2+2t+1$ (đặt $t=xy$)
Mặt khác, từ đề bài ta có:
$1+xy-2xy=x^2+y^2-2xy=(x-y)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow xy\leq 1$
$1+xy+2xy=x^2+y^2+2xy=(x+y)^2\geq 0$
$\Rightarrow xy\geq \frac{-1}{3}$
Vậy, ta cần tìm min, max $P=-2t^2+2t+1$ với $\frac{-1}{3}\leq t\leq 1$
Ta thấy:
$P=\frac{3}{2}-2(t^2-t+\frac{1}{4})=\frac{3}{2}-2(t-\frac{1}{2})^2\leq \frac{3}{2}$ với mọi $-\frac{1}{3}\leq t\leq 1$
Do đó $P_{\max}=\frac{3}{2}$
Mặt khác:
$P=-2t^2+2t+1=-\frac{2}{3}t(3t+1)+\frac{8}{9}(3t+1)+\frac{1}{9}$
$=\frac{1}{9}(3t+1)(8-6t)+\frac{1}{9}$
Với $\frac{-1}{3}\leq t\leq 1$ thì: $3t+1\geq 0; 8-6t\geq 0$
$\Rightarrow P\geq \frac{1}{9}$
Vậy $P_{\min}=\frac{1}{9}$
P=x4+y4−x2y2=(x2+y2)2−2x2y2−x2y2P=x4+y4−x2y2=(x2+y2)2−2x2y2−x2y2
=(x2+y2)2−3x2y2=(1+xy)2−3x2y2=−2x2y2+2xy+1=(x2+y2)2−3x2y2=(1+xy)2−3x2y2=−2x2y2+2xy+1
=−2t2+2t+1=−2t2+2t+1 (đặt t=xyt=xy)
Mặt khác, từ đề bài ta có:
1+xy−2xy=x2+y2−2xy=(x−y)2≥01+xy−2xy=x2+y2−2xy=(x−y)2≥0
⇔xy≤1⇔xy≤1
1+xy+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2≥01+xy+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2≥0
⇒xy≥−13⇒xy≥−13
Vậy, ta cần tìm min, max P=−2t2+2t+1P=−2t2+2t+1 với −13≤t≤1−13≤t≤1
Ta thấy:
P=32−2(t2−t+14)=32−2(t−12)2≤32P=32−2(t2−t+14)=32−2(t−12)2≤32 với mọi −13≤t≤1−13≤t≤1
Do đó Pmax=32Pmax=32
Mặt khác:
P=−2t2+2t+1=−23t(3t+1)+89(3t+1)+19P=−2t2+2t+1=−23t(3t+1)+89(3t+1)+19
=19(3t+1)(8−6t)+19=19(3t+1)(8−6t)+19
Với −13≤t≤1−13≤t≤1 thì: 3t+1≥0;8−6t≥03t+1≥0;8−6t≥0
⇒P≥19⇒P≥19
Vậy Pmin=19
