Ôn tập phương trình bậc hai một ẩn

Em sử dụng bất đẳng thức \((a+b)^2 \ge 4ab \) như sau nhé:

\(4a+2b+c+d=0\\ \Leftrightarrow -2b=4a+c+d\\ \Rightarrow 4b^2=(4a+c+d)^2 \ge 4.4a.(c+d)\\ \Rightarrow b^2\ge 4ac+4ad\)

Dấu bằng có khi chỉ khi \(4a=-b=c+d\)

\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{9}{2xy}\ge\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{18}{\left(x+y\right)^2}=22\)

dễ thấy \(\Delta=1\Rightarrow\)pt luôn có 2 no pbiệt

vì \(x_1>x_2\)

\(\Rightarrow x_1=\dfrac{2m+1-\sqrt{\Delta}}{2}=m;x_2=\dfrac{2m+1+\sqrt{\Delta}}{2}=m+1\)

\(\Rightarrow x_1=x_2+1\)

với m thay đổi thì điểm a luôn di chuyển trên đths y=x+1 (y=x₁;x=x₂)

Điều kiện m khác 0

\(PT\left(1\right)\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2=-m^2\left(1\right)\\x_1+x_2=10\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(PT\left(2\right)\left\{{}\begin{matrix}x_3x_4=-\dfrac{1}{m^2}\left(3\right)\\x_3+x_4=-\dfrac{10}{m^2}\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

với m khác 0 => x1, x2 khác 0

Lấy (2) chia (1)

\(\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{10}{-m^2}\Leftrightarrow\dfrac{x_1}{x_1x_2}+\dfrac{x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{1}{x_1}=-\dfrac{-10}{m^2}\)(5)

từ (1) \(m\ne0\Leftrightarrow\dfrac{1}{x_1.x_2}=-\dfrac{1}{m^2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x_1}.\dfrac{1}{x_2}=-\dfrac{1}{m^2}\)(6)

Từ (3) (4)(5)(6)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_3.x_4=\dfrac{1}{x_1}.\dfrac{1}{x_2}\\x_3.+x_4=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}\end{matrix}\right.\) => dpcm

với m=0 => (1) có nghiệm x=0 sao nghịch đảo được xem lại không c/m được

mik tự trả lời nhé (đương nhiên ko tick nha giải cho mn hỉu thoy =))

C1: đặt \(\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=y+\dfrac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{4x+9}{28}=y^2+y+\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow7y^2+7y=x+\dfrac{1}{2}\)

kết hợp vs pt đầu ta được hpt đối xứng \(\left\{{}\begin{matrix}7x^2+7x=y+\dfrac{1}{2}\\7y^2+7y=x+\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

(mời @Neet giải tip nha mỏi tay )

C2:

pt <=> \(28\left(49x^4+98x^3+49x^2\right)=4x+9\)

<=>\(\left(14x^2+12x-1\right)\left(98x^2+112x+9\right)=0\)

=> do yourself !!!

Phương trình: \(x^2-3x+2m+2=0\left(1\right)\)

a/ Thay m=0 vào phương trình (1) ta được;

\(x^2-3x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy khi m=0 thì phương trình (1) có \(S=\left\{2;1\right\}\)

b/ Xét phương trình (1) có:

\(\Delta=\left(-3\right)^2-4.1.\left(2m+2\right)\)

= \(9-8m-8=1-8m\)

Để phương trình (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow1-8m\ge0\Leftrightarrow m\le\dfrac{1}{8}\)

Vậy để phương trình (1) có nghiệm thì m\(\le\dfrac{1}{8}\)

c/ Xét phương trình (1), áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=3\\x_1.x_2=2m+2\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài ta có:

A=\(x_1^2+x_2^2+x_1^2.x_2^2\)

= \(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2+x_1^2x_2^2\)

= \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+\left(x_1x_2\right)^2\)

= \(3^2-2\left(2m+2\right)+\left(2m+2\right)^2\)

= \(9-4m-4+4m^2+8m+4\)

= \(4m^2+4m+9\)

= \(4m^2+4m+1+8=\left(2m+1\right)^2+8\)

Ta luôn có:

\(\left(2m+1\right)^2\ge0\) với mọi m

\(\Rightarrow\left(2m+1\right)^2+8\ge8\) với mọi m

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2=0\Leftrightarrow2m+1=0\Leftrightarrow m=\dfrac{-1}{2}\) (tmđk)

Vậy GTNN của A=\(x_1^2+x_2^2+x_1^2x_2^2\) là 8 khi m=\(\dfrac{-1}{2}\)

\(x^4-4x^3-2x^2+4x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\\x=2-\sqrt{5}\\x=2+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Xét \(x^2-3xy+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x-2y\right)=0\)

Đơn giản rồi nhé