Ôn tập cuối năm phần số học

a(ax+1)=x(a+2)+2

Biến đổi:

\(\Leftrightarrow a^2x-ax-2x=2-a\)

\(\Leftrightarrow x\left(a^2-a-2\right)=2-a\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)x=2-a\) ⁽¹⁾

Lại có :

Kí hiệu S là tập nghiệm của phương trình đã cho

Nếu \(a\ne-1,a\ne-2\) thì \(S=\left\{-\dfrac{1}{a+1}\right\}\)

Nếu a = -1 thì (1) có dạng 0x = 3, vô nghiệm \(\Rightarrow S=\varnothing\)

Nếu a=2 thì (1) có dạng 0x=0, phương trình đúng với mọi x, \(S=\) R

Có \(\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+1}{a}.\dfrac{b+1}{b}\ge9\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\) ( vì ab >0)

\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\)

\(\Leftrightarrow2\ge8ab\) \(\left(a+b=1\right)\)

\(\Leftrightarrow1\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) \(\left(a+b=1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)

\(\Leftrightarrowđpcm\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|A\right|\ge A\) (xảy ra khi và chỉ khi A ≥ 0)

\(\Rightarrow\left|2x-1\right|+\left|5-2x\right|\ge\left(2x-1\right)+\left(5-2x\right)\)

\(\Rightarrow\left|2x-1\right|+\left|5-2x\right|\ge4\)

Theo đề bài phải xảy ra đẳng thức do đó

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-1\ge0\\5-2x\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{1}{2}\\x\le\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\le x\le\dfrac{5}{2}\)

Điều kiện xác định của bất phương trình là a ≠0

Biến đổi :

\(\dfrac{x+1}{a}+ax>\dfrac{x+2}{a}-2x\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{a}+\dfrac{1}{a}+ax>\dfrac{x}{a}+\dfrac{2}{a}-2x\)

\(\Leftrightarrow ax+2x>\dfrac{x}{a}-\dfrac{x}{a}+\dfrac{2}{a}-\dfrac{1}{a}\)

\(\Leftrightarrow ax+2x>\dfrac{2}{a}-\dfrac{1}{a}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)x>\dfrac{1}{a}\)

Nếu a>-2, a≠0 thì nghiệm của bất phương trình là x > \(\dfrac{1}{a\left(a+2\right)}\)

Nếu a < -2 thì nghiệm của bất phương trình là x < \(\dfrac{1}{a\left(a+2\right)}\)

Nếu a = -2 thì nghiệm của bất phương trình là 0x\(>-\dfrac{1}{2}\),

Nghiệm đúng với mọi x

Có \(3\left|2x-1\right|< 2x+1\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3\left(2x-1\right)>-\left(2x+1\right)\\3\left(2x-1\right)< 2x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}6x-3>-2x-1\\6x-3< 2x+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}8x>2\\4x< 4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>\dfrac{1}{4}\\x< 1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}< x< 1\)

CMR (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ≥-1

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=[(x-1)(x-4)][(x-2)(x-3)=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)

đặt x^2-5x+5=y ta đc

(y-1)(y+1)=y^2-1

vì y^2> hoặc =0

=>x^2-1> hoặc bằng -1

Có :

\(\text{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ≥ -1}\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)+1\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)+1\ge0\)

Thay x²-5x+4 = a

\(\Rightarrow a\left(a+2\right)+1\) \(\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+2a+1\) \(\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2\) \(\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+5x+5\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\ge-1\)

Vậy \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\ge-1\)

x⁸+98x⁴+1

= (x⁸+2x⁴+1)+96x⁴

= (x⁴+1)²+96x⁴

= (x⁴+1)²+16x²(x⁴+1) - 16x²(x⁴+1) +64x⁴+32x⁴

= [(x⁴+1)²+16x²(x⁴+1) +64x⁴]-16x²(x⁴+1)+32x⁴

= (x⁴+8x²+1)²-16x²(x⁴+1-2x²)

= (x⁴+8x²+1)²-16x²(x²-1)²

= (x⁴+8x²+1)² - (4x³-4x)²

= (x⁴+4x³+8x²-4x+1)(x⁴-4x³+8x²+4x+1)

\(x^8+98x^4+1\)

\(=x^8+98x^4+2401-2400\)

\(=\left[\left(x^4\right)^2+2.x^4.49+49^2\right]-2400\)

\(=\left(x^4+49\right)^2-\left(\sqrt{2400}\right)^2\)

\(=\left(x^4+49-\sqrt{2400}\right)\left(x^4+49+\sqrt{2400}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :

\(\cdot\)\(\) x²+y² ≥ 2xy

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-2xy\ge2xy\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\cdot\) y²+z² ≥2yz

\(\Rightarrow\left(y+z\right)^2-2yz\ge2yz\)

\(\Rightarrow\left(y+z\right)^2\ge4yz\)

\(\cdot\) x²+z² ≥ 2xz

\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2-2xz\ge2xz\)

\(\Rightarrow\left(x+z\right)^2\ge4xz\)

Hai vế của bất đẳng thức trên đều không âm, nhân từng vế

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)^2\ge64x^2y^{2^{ }}z^2\)

\(\Rightarrow\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\right]^2\ge\left(8xyz\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8xyz\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+z\ge2\sqrt{yz}\\z+x\ge2\sqrt{zx}\end{matrix}\right.\)

Nhân vế theo vế ta được :

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\sqrt{x^2y^2z^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\left(đpcm\right)\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y=z=0\)