Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a: \(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=m+2\\\left(2m-1\right)x+\left(m+1\right)y=2\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)

Khi m=3 thì hệ sẽ là:

3x+2y=5 và 5x+4y=8

=>x=2 và y=-1/2

b: Hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{2m-1}< >\dfrac{2}{m+1}\)

=>m^2+m<>4m-2

=>m^2-3m+2<>0

=>m<>1 và m<>2

hệ có vô số nghiệm thì \(\dfrac{m}{2m-1}=\dfrac{2}{m+1}=\dfrac{2}{2\left(m+1\right)}=\dfrac{1}{m+1}\)

=>m/2m-1=2/m+1 và 2/m+1=1/m+1(vô lý)

=>Ko có m thỏa mãn

Để hệ vô nghiệm thì m/2m-1=2/m+1<>1/m+1

=>m=2 hoặc m=1

Điều kiện: \(x\ge3\)

Hệ phương trình tương đương với:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-3}+4y^2-8y+4=5\\2\sqrt{x-3}-y^2+2y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-3}+8y^2-16y=2\\2\sqrt{x-3}-y^2+2y=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-3}-y^2+2y=2\\9y^2-18=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-3}-y^2+2y=2\\9y\left(y-2\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x-3}-y^2+2y=2\left(1\right)\\\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

+) Với y = 0 ta suy ra x = 4 (nhận)

+) Với y = 2 ta suy ra x = 4 (nhận)

Vậy hệ phương trình có 2 tập nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x;y\right)=\left(4;0\right)\\\left(x;y\right)=\left(4;2\right)\end{matrix}\right.\)

=>2 căn x-3+8(y-1)^2=10 và 2 căn x-3-y^2+2y=2

=>8(y^2-2y+1)+y^2-2y=8

=>8y^2-16y+8+y^2-2y-8=0

=>9y^2-18y=0

=>y=0 hoặc y=2

=>2 căn y-3=2 hoặc 2 căn y-3=2

=>y-3=1

=>y=4

a: Δ=(2m+2)^2-4m^2=8m+4

Để pt có nghiệm kép thì 8m+4=0

=>m=-1/2

=>x^2-x+1/4=0

=>x=1/2

b: Để pt có hai nghiệm phân biệt đều dương thì

8m+4>0 và 2m+2>0

=>m>-1/2

\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m^2-3\right)=m^2+6m+9-m^2+3=6m+12\)

Để pt có 2 nghiệm khi m >= -2 

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m+3\right)\\x_1x_2=m^2-3\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=22\Leftrightarrow4\left(m+3\right)^2-3m^2+9=22\)

\(\Leftrightarrow m^2+24m+23=0\Leftrightarrow m=-1\left(tm\right);m=-23\left(l\right)\)

Đăng 1-2 câu mỗi lần thôi bạn .-.

Bài 5: \(\left\{{}\begin{matrix}mx+2my=-10\\\left(1-m\right)x+y=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

a) Với m=-2 thì hệ phương trình (1) trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x-4y=-10\\3x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=5\\3x+y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=5\\6x+2y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-5x=5\\3x+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\3.\left(-1\right)+y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=3\end{matrix}\right.\)

Vậy với m=-2 thì hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(-1;3\right)\)

b) Với \(m=0\) thì hệ (1) trở thành: \(\left\{{}\begin{matrix}0x+0y=-10\left(\text{ptvonghiem}\right)\\x+y=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)Hệ phương trình (1) vô nghiệm.

Với \(m\ne0\) :

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}mx+2my=-10\\-2m.\left(1-m\right)x-2my=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow mx-2m\left(1-m\right)x=-10\)

\(\Rightarrow x-2\left(1-m\right)x=-\dfrac{10}{m}\)

\(\Rightarrow x+2mx-2x=-\dfrac{10}{m}\)

\(\Rightarrow\left(2m-1\right)x=-\dfrac{10}{m}\)

*Với \(m=\dfrac{1}{2}\). Ta có \(0x=-\dfrac{10}{m}\) (phương trình vô nghiệm)

Do đó hệ (1) cũng vô nghiệm.

*Với \(m\ne-\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow x=\dfrac{-10}{m\left(2m-1\right)}\)

Thay vào (2) ta được: \(\left(1-m\right).\dfrac{-10}{m\left(2m-1\right)}+y=0\Rightarrow y=\dfrac{10\left(1-m\right)}{m\left(2m-1\right)}\)

Biện luận: 

+ Với \(m=0\) hay \(m=\dfrac{1}{2}\) thì hệ phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với \(m\ne0;\dfrac{1}{2}\) thì hệ phương trình (1) có nghiệm duy nhất:

\(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{-10}{m\left(2m-1\right)};\dfrac{10\left(1-m\right)}{m\left(2m-1\right)}\right)\)

Giá của đợt 2 trước khi tăng là:

280000*4/5=224000(đồng)

Số tiền niêm yết là:

224000:7/10=320000(đồng)

Hệ có nghiệm duy nhất khi \(m^2\ne1\Rightarrow m\ne\pm1\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x-my=5-3m\\m^2x-my=2m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-my=5-3m\\\left(m^2-1\right)x=5m-5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-my=5-3m\\x=\dfrac{5}{m+1}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{m+1}\\y=\dfrac{3m-2}{m+1}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{5}{x}+4=\dfrac{3}{y}\Rightarrow m+1+4=\dfrac{3\left(m+1\right)}{3m-2}\) (\(m\ne\dfrac{2}{3}\))

\(\Rightarrow\left(3m-2\right)\left(m+5\right)=3\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow3m^2+10m-13=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\left(loại\right)\\m=-\dfrac{13}{3}\end{matrix}\right.\)

Rút gọn được \(A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

\(B-8A\le0\Leftrightarrow\dfrac{x+16}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{8\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-8\sqrt{x}+16}{\sqrt{x}-3}\le0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{x}-4\right)^2}{\sqrt{x}-3}\le0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-4=0\\\sqrt{x}-3< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=16\\x< 9\end{matrix}\right.\)

Kết hợp ĐKXD ta được: \(\left[{}\begin{matrix}x=16\\0\le x< 9\end{matrix}\right.\)

\(x^2+2\sqrt{x+2}=0\)

=>\(x^2+4x+4+2\sqrt{x+2}-4x-4=0\)

=>\(\left(\sqrt{x+2}\right)^4+2\sqrt{x+2}-4x-8+4=0\)

=>\(\left(\sqrt{x+2}\right)^4+2\sqrt{x+2}-4\sqrt{x+2}^2+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+2}+2\right)\left(\sqrt{x+2}^3-2\sqrt{x+2}^2+2\right)=0\)

=>\(\sqrt{x+2}^3-2\sqrt{x+2}^2+2=0\)

=>\(x\in\varnothing\)