Bài 2: Dãy số

n² + 4 \(\ge4\forall n\)

=> Dãy bị chặn dưới

Chặn dưới

a) \(u_{n+3}=sin\left[4\left(n+3\right)-1\right]\dfrac{\pi}{6}=sin\left[4n+12-1\right]\dfrac{\pi}{6}\\ =sin\left[\left(4n-1\right)\dfrac{\pi}{6}+2\pi\right]=sin\left(4n-1\right)\dfrac{\pi}{6}=u_n\)

b) 

\(u_1=u_4=...=u_{13}=sin\dfrac{\pi}{2}\\ u_2=u_5=...=u_{14}=sin\dfrac{7\pi}{6}\\ \\ u_3=u_6=...=u_{15}=sin\dfrac{11\pi}{6}\\ \Rightarrow u_1+u_2+...+u_{15}=5\left(sin\dfrac{\pi}{2}+sin\dfrac{7\pi}{6}+\dfrac{11\pi}{6}\right)=0\)

\(u_{n+1}=u_n+\left(n-1\right)2^n\)

\(\Leftrightarrow u_{n+1}-\left(n+1\right)2^{n+1}+3.2^{n+1}=u_n-n.2^n+3.2^n\)

Đặt \(v_n=u_n-n.2^n+3.2^n\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}v_1=5\\v_{n+1}=v_n=...=v_1=5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u_n-n.2^n+3.2^n=5\)

\(\Rightarrow u_n=\left(n-3\right)2^n+5\)

b. ta có:

\(u_{n+1}-u_n=\left(n-1\right)2^n\ge0\) ; \(\forall n\ge1\)

\(\Rightarrow u_{n+1}\ge u_n\Rightarrow\) dãy tăng

Dễ dàng nhận ra dãy đã cho là dãy dương.

 \(\Rightarrow u_1u_2...u_{n-1}>0\Rightarrow u_n>1\) ;\(\forall x>1\)

\(\Rightarrow u_1u_2...u_{n-1}>1\)

Ta có:

\(u_{n+1}-u_n=1+u_1u_2...u_n-u_n=1+u_n\left(u_1u_2...u_{n-1}\right)>0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}>u_n\Rightarrow\) dãy tăng

Shift-mode-nút replay đi xuống - chọn 2 (là d/c)

Ủa pt hàm là \(f\left(f\left(x\right)+y\right)=2x+f\left(f\left(x\right)-y\right)\) hay \(f\left(f\left(x\right)+y\right)=2x+f\left(f\left(y\right)-x\right)\) vậy bạn?

Vì nếu pt hàm là \(f\left(f\left(x\right)+y\right)=2x+f\left(f\left(x\right)-y\right)\)

Nếu ta thế \(y=0\) thì:

\(f\left(f\left(x\right)\right)=2x+f\left(f\left(x\right)\right)\Leftrightarrow2x\equiv0\) điều này vô lý nên ko thể tồn tại 1 hàm như vậy