cm : (a+4b)^3>=81ab^2 và a,b>=0
Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
c/m \(\left(a+4b\right)^3\ge81ab^2\)
theo cosi ta co
\(\left(a+b+3b\right)^3\ge\left(3\sqrt[3]{a.3b^2}\right)^3=81ab^2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh: \(a+\dfrac{a}{a-1}\ge4\)
Với a>1.
Cho góc xOy; vẽ tia phân giác Ot của góc xOy. Trên tia Ot lấy điểm M bất kỳ;
trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B sao cho OA = OB gọi H là giao điểm của AB và Ot. Chứng minh:
MA = MB
OM là đường trung trực của AB.
Cho biết AB = 6cm; OA = 5 cm. Tính OH?
Đề: Cho left{{}begin{matrix}x,y,z0x+yle zend{matrix}right. tìm Min của left(x^2+y^2+z^2right)left(dfrac{1}{x^2}+dfrac{1}{y^2}+dfrac{1}{z^2}right) Làm thế này không biết đúng ko
Ta có :A left(x^2+y^2+z^2right)left(dfrac{1}{x^2}+dfrac{1}{y^2}+dfrac{1}{z^2}right)3+dfrac{x^2}{y^2}+dfrac{y^2}{x^2}+dfrac{z^2}{x^2}+dfrac{x^2}{z^2}+dfrac{z^2}{y^2}+dfrac{y^2}{z^2}
A 3+left(dfrac{x^2}{y^2}+dfrac{y^2}{x^2}right)+left(dfrac{x^2}{z^2}+dfrac{z^2}{16x^2}right)+left(dfrac{y^2}{z^2}+dfrac{z^2}{16y^2}right)+df...
Đọc tiếp
Đề: Cho \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+y\le z\end{matrix}\right.\) tìm Min của \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\) Làm thế này không biết đúng ko
Ta có :A= \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)=3+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\)
=> A \(=3+\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\right)+\left(\dfrac{x^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16x^2}\right)+\left(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{16y^2}\right)+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(A\ge3+2+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)=6+\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}\right)\)
Do \(x+y\le z\Rightarrow\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}\le1\) ; Đặt \(u=\dfrac{x}{z}\); \(v=\dfrac{y}{z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{z^2}{y^2}=\dfrac{1}{u^2}+\dfrac{1}{v^2}\ge\dfrac{2}{uv}\ge\dfrac{2}{\dfrac{\left(u+v\right)^2}{4}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}}=8\)
\(\Rightarrow A\ge6+\dfrac{15}{16}.8=\dfrac{27}{2}\) Vậy minA = \(\dfrac{27}{2}\) khi \(x=y=\dfrac{z}{2}\)
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+3\)
Áp dụng BĐT AM-GM:\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge2\)
\(\Rightarrow VT\ge\)\(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{z^2}+5\)
Lần lượt có các đánh giá: \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{x^2}{z^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x+y}{z}\right)^2\)
Và \(\dfrac{z^2}{y^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4z}{x+y}\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4z}{x+y}\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x+y}{z}\right)^2+5\)
Đặt \(t=\dfrac{z}{x+y}\ge1\) thì ta được:
\(\Rightarrow VT\ge8t^2+\dfrac{1}{2t^2}+5\)\(\ge\dfrac{17}{2}+5=\dfrac{27}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (4)
Xem thêm câu trả lời
giúp mình giải bpt vs
\(\dfrac{\left|2x-1\right|-x}{2x}>1;\dfrac{2-\left|x-2\right|}{x^2-1}\ge0;\dfrac{\sqrt{x+4}-2}{4-9x^2}\le0;\dfrac{x^2-2x-3}{\sqrt[3]{3x-1}+\sqrt[3]{4-5x}}\ge0;\)\(3x^2-10x+3\ge0;\left(\sqrt{2}-x\right)\left(x^2-2\right)\left(2x-4\right)< 0;\dfrac{1}{x+9}-\dfrac{1}{x}>\dfrac{1}{2};\dfrac{2}{1-2x}\le\dfrac{3}{x+1}\)
Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)
Google không tính phí, gõ BĐT Nesbitt là ra
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}+1\right)+\left(\dfrac{b}{c+a}+1\right)+\left(\dfrac{c}{a+b}+1\right)\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c+a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge9\)
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{matrix}\right.\) Khi đó bất đẳng thức trở thành:
\(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\) (đúng theo AM-GM)
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c>0\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 3 số dương a;b;c thỏa mãn \(a+b+c=3\) và \(ab+bc+ac=3\)
Tìm min của \(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng engel ta có:
\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+ac+bc+ac+bc}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (1)
thừa điều kiện à , P là Nesbit luôn mà
Đúng 0
Bình luận (0)
Áp dụng bất đẳng thức Nesbit cho 3 số dương ta có:
\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)\(\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
Vậy \(min_P=\dfrac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (5)
Chứng minh rằng nếu \(a\ge1;b\ge1\) thì \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
Đặt T là vế trái, áp dụng AM-GM, ta có:
\(a\sqrt{b-1}=a\sqrt{1\left(b-1\right)}\le\dfrac{a.\left(1+b-1\right)}{2}=\dfrac{ab}{2}\)
Tương tự: \(b\sqrt{a-1}\le\dfrac{ba}{2}\)
Cộng vế theo vế 2 BĐT vừa chứng minh, ta được:
\(T\ge\dfrac{ab}{2}+\dfrac{ba}{2}=ab\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Với a ≥ 2, tìm giá trị nhỏ nhất của \(a+\dfrac{1}{a}\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(a+\dfrac{1}{a}=\dfrac{3}{4}a+\dfrac{a}{4}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{3}{4}.2+2\sqrt{\dfrac{a}{4}.\dfrac{1}{a}}=\dfrac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a=2
Đúng 0
Bình luận (3)
Cho a,b dương. CMR \(\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge8\)
\(\left(a+b\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)
\(=\left(a+b\right)\left(a+b\right)+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}+2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}.2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\)
\(=4ab+\dfrac{4}{ab}\)
\(=4\left(ab+\dfrac{1}{ab}\right)\ge4.2=8\)(\(a;b>0\))
Đúng 0
Bình luận (0)