HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
Vì \(a;b;c\) là 3 cạnh của tam giác nên \(a;b;c>0\)
Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\)
Ta sẽ chứng minh:
\(\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
Thật vậy,áp dụng bđt Cauchy Schwarz cho 3 số dương ta có:
\(\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)
Như vậy cần chứng minh: \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\ge3\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3ab+3bc+3ac\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) *ĐÚNG*
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}+1\right)+\left(\dfrac{b}{c+a}+1\right)+\left(\dfrac{c}{a+b}+1\right)\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c+a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge9\)
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{matrix}\right.\) Khi đó bất đẳng thức trở thành:
\(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\) (đúng theo AM-GM)
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c>0\)
\(l=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}=\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{2^2}{y}+\dfrac{3^2}{z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{36}{1}=36\)
Áp dụng bất đẳng thức Nesbit cho 3 số dương ta có:
\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)\(\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
Vậy \(min_P=\dfrac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng engel ta có:
\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+ac+ac+bc+ac+bc}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=0\Leftrightarrow\dfrac{xbc+yac+zab}{abc}=0\Leftrightarrow xbc+yac+zab=0\)(1)
\(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=2\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}+\dfrac{2ab}{xy}+\dfrac{2bc}{yz}+\dfrac{2ac}{xz}=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}+2\left(\dfrac{ab}{xy}+\dfrac{bc}{yz}+\dfrac{ac}{xz}\right)=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}+2\left(\dfrac{zab+xbc+yac}{xyz}\right)=4\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}=4\) (vì \(zab+xbc+yac=0\) từ (1) )
Hình như đề sai thì phải.(Xem có viết đúng đề ko nhé) Mk chỉ tính được cái này không tính được cái đề của bạn cho