Vì \(a;b;c\) là 3 cạnh của tam giác nên \(a;b;c>0\)

Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\)

Ta sẽ chứng minh:

\(\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)

Thật vậy,áp dụng bđt Cauchy Schwarz cho 3 số dương ta có:

\(\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)

Như vậy cần chứng minh: \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\ge3\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge3ab+3bc+3ac\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) *ĐÚNG*

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\ge\dfrac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b+c}+1\right)+\left(\dfrac{b}{c+a}+1\right)+\left(\dfrac{c}{a+b}+1\right)\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c+a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)\ge9\)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{matrix}\right.\) Khi đó bất đẳng thức trở thành:

\(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\) (đúng theo AM-GM)

Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c>0\)

\(l=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}=\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{2^2}{y}+\dfrac{3^2}{z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{36}{1}=36\)

Do nhầm lẫn chữ số 7 thành 4 nên thừa số thứ hai giảm đi :

7 - 4 = 3 đơn vị  

Nên tích giảm đi 3 lần thừa số thứ nhất.

Vậy thừa số thứ nhất là:

1245 : 3 = 415  

Tích đúng là:

415 x 127 = 52705  

ĐS: 52705

Khi 9 giờ kim dài và kim ngắn vuông góc với nhau

Vì vậy thì nửa tiếng nữa là kim dài và kim ngắn vuông góc với nhau

Tức là 30 phút

\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=0\Leftrightarrow\dfrac{xbc+yac+zab}{abc}=0\Leftrightarrow xbc+yac+zab=0\)(1)

\(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}=2\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right)^2=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}+\dfrac{2ab}{xy}+\dfrac{2bc}{yz}+\dfrac{2ac}{xz}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}+2\left(\dfrac{ab}{xy}+\dfrac{bc}{yz}+\dfrac{ac}{xz}\right)=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}+2\left(\dfrac{zab+xbc+yac}{xyz}\right)=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{x^2}+\dfrac{b^2}{y^2}+\dfrac{c^2}{z^2}=4\) (vì \(zab+xbc+yac=0\) từ (1) )

Hình như đề sai thì phải.(Xem có viết đúng đề ko nhé) Mk chỉ tính được cái này không tính được cái đề của bạn cho