Bài 6: Bất phương trình mũ và logarit

Lời giải:

Ta có:

\(\text{VT}=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}+b-\frac{2bc^2}{b+2c^2}+c-\frac{2ca^2}{c+2a^2}\)

\(=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+2b^2}+\frac{bc^2}{b+2c^2}+\frac{ca^2}{c+2a^2}\right)\)

\(=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+b^2+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2+a^2}\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:

\(\text{VT}\geq (a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}+\frac{bc^2}{3\sqrt[3]{bc^4}}+\frac{ca^2}{3\sqrt[3]{ca^4}}\right)\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq (a+b+c)-\frac{2}{3}(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})\)

Áp dụng BĐT Cauchy tiếp:

\(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq \frac{ab+ab+1}{3}+\frac{bc+bc+1}{3}+\frac{ca+ca+1}{3}\)

\(=\frac{2(ab+bc+ac)+3}{3}\leq \frac{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{3}\)

Do đó: \(\text{VT}\geq (a+b+c)-\frac{2}{3}.\frac{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{3}=1\) do $a+b+c=3$

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

Chọn B

Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2^x=a\\ 3^{x-1}=b\end{matrix}\right.\)

\(\text{BPT}\Leftrightarrow 3ab+1\leq a^3-b^3\)

\(\Leftrightarrow a^3-b^3-1-3ab\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b-1)(a^2+b^2+1+ab+a-b)\geq 0\) (*)

(sd hằng đẳng thức phân tích bậc 3 dạng \(x^3+y^3+z^3-3xyz\) )

Vì \(a^2+b^2+1+ab+a-b=\frac{(a+b)^2+(a+1)^2+(b-1)^2}{2}\geq 0\) nên từ (*) suy ra \(a-b-1\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2^x-3^{x-1}-1\geq 0\Leftrightarrow 3.2^x-3^x-3\geq 0\)

Xét \(f(x)=3.2^x-3^x-3\Rightarrow f'(x)=\ln 8.2^x-\ln 3.3^x\)

\(f'(x)=0\Leftrightarrow x=\log_{\frac{2}{3}}\frac{\ln 3}{\ln 8}\)

Lập bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số f(x) cắt y=0 tại 2 điểm \(x=1; x=2\); và đoạn đồ thị có giá trị không âm đi từ x=1 đến x=2

Do đó \(f(x)\geq 0\Leftrightarrow 1\leq x\leq 2\)

ta có : \(\left(2-x\right)\log_2x>x^2-5x+6\) \(\left(đk:x>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2-x\right)\log_2x>\left(2-x\right)\left(3-x\right)\) (1)

th1) \(x< 2\) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\log_2x>3-x\Leftrightarrow x>2^{3-x}>2^{3+2}\Leftrightarrow x>32\left(loại\right)\)

th2) \(x>2\) \(\left(1\right)\Leftrightarrow\log_2x< 3-x\Leftrightarrow x< 2^{3-x}< 2^{3+2}\Leftrightarrow x< 32\)

kết hợp điều kiện ta có \(2< x< 32\)

vậy \(2< x< 32\) .

bài 1 mk o bt lm ; nên mk lm câu 2 thôi nha .

bài 2) ta có : \(\log_x\left(x-\dfrac{1}{4}\right)\ge2\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{4}\ge x^2\Leftrightarrow x^2-x+\dfrac{1}{4}\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\)

mà ta có : \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow0\le\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\le0\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

vậy \(x=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

Ta có:

\(\log_2(x+4)+2\log_4(x+2)=2\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=6\)

\(\Leftrightarrow 2\log_4(x+4)+2\log_4(x+2)=6\)

\(\Leftrightarrow \log_4(x+4)+\log_4(x+2)=3\)

\(\Leftrightarrow \log_4[(x+2)(x+4)]=3\)

\(\Leftrightarrow (x+2)(x+4)=4^3=64\)

\(\Leftrightarrow x^2+6x-56=0\)

\(\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{65}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta suy ra \(x=-3+\sqrt{65}\) là nghiệm của pt